Dạng 5. Bài tập tự luyện số 2 có đáp án

a) $\Delta ADF=\Delta AHF$ (cạnh huyền, góc nhọn) $\Rightarrow AH=AD=a$.

b)  $\Delta AHK=\Delta ABK$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông) $\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{A_4}$.

Kết hợp với giả thiết, ta có: $\widehat{FAK}=\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=\frac{1}{2}{90}^0={45}^0$.

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD ta được:
 $\left\{\begin{array}{c}AD=DC,\widehat{D}=\widehat{C}\\ DN=CM\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow \Delta ADN=\Delta DCM$ (c-g-c)

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{D_1}$.

Vì $\Delta ADN$ vuông ở D, nên $\widehat{A_1}+\widehat{N_1}={90}^0$.                 (1)

Thay $\widehat{A_1}=\widehat{D_1}$ vào đẳng thức (1) ta được $\widehat{D_1}+\widehat{N_1}={90}^0$.

Điều này chứng tỏ tam giác DIN vuông ở I hay $AN\perp DM$.

b) Gọi giao điểm của DM với AB là K, khi đó $\Delta DMC=\Delta KMB$ (g-c-g) => BK = DC.

Lại có AB = DC nên AB = BK suy ra IB là trung tuyến ứng
với cạnh huyền của tam giác vuông AIK. Do đó IB = BA.

Xét hình vuông ABCD có AB = BC = 1m.

Ta đi dựng hình vuông nhận đường chéo AC làm cạnh để tính đường chéo của hình vuông mới này.

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BE = BF = 1m. Ta được tứ giác AFEC có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình vuông cạnh AC. Hình vuông này có đường chéo AE = 2cm.

a) $\Delta ABM=\Delta ADN$ (c-g-c)

$\Rightarrow AM=AN,\widehat{A_1}=\widehat{A_3}$.

Hình bình hành MANF có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

Do góc $A_2$ phụ với góc $A_3$ nên góc $A_1$ phụ với $A_2$ hay $\widehat{MAN}={90}^0$.

Điều này chứng tỏ hình thoi MANF là hình vuông vì có một góc vuông.