Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{14}{3}{x}^2$  có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C)  sao cho tiếp tuyến của (C)  tại A  cắt đồ thị ( C)  tại hai điểm phân biệt M( x₁; y₁)  và N( x₂; y₂) (M; N khác A) sao cho y₂- y₁=  8( x₂- x₁).

+ Ta có: 

Ta xét các trường hợp sau

+  Nếu m²- 4= 0 hay m= ± 2

Khi m = 2 thì y’ = 8x⁷ nên x=0 là điểm cực tiểu.

Khi m = -2 thì y’ = x⁴( 8x⁴- 20 ) khi đó x= 0 không là điểm cực tiểu.

+  Nếu m ≠  ± 2 .Khi đó ta có

Số cực trị của hàm y = x⁸+ (m-2) x⁵- ( m²- 4) x⁴+ 1  bằng số cực trị của hàm g’( x)

+) Nếu x = 0 là điểm cực tiểu thì g’’ (0) > 0.

Khi đó: -4( m² - 4) > 0 hay -2 < m < 2

Mà m nguyên nên m= -1; 0; 1

Kết hợp cả 2 trường hợp có 4 giá trị nguyên của m và tổng của chúng là:

2 + ( -1) + 0 + 1 = 2

Chọn  D.

+ Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x= -2 và tiệm cận ngang là y= 1.

Giao điểm hai đường tiệm cận là I ( -2; 1) .

Ta có: 

$$\begin{gathered} A(a;1-\frac{3}{a+2})\in \left(C\right), B(b;1-\frac{3}{b+2})\in \left(C\right). \\ \overrightarrow{IA}=(a+2;-\frac{3}{a+2}), \overrightarrow{IB}=(b+2;-\frac{3}{b+2}). \end{gathered}$$

Đặt  a₁== a+ 2 ; b₁= b+ 2( a₁≠ 0 ; b₁≠0 ; a₁ ≠ b₁

Tam giác ABI đều khi và chỉ khi

Ta có (1) 

+ Trường hợp a₁= b₁ loại

+ Trường hợp a₁= - b₁ ; a₁b₁ = -3  (loại vì không thỏa (2) .

+ Trường hợp  a₁ b₁ =3 thay vào ( 2) ta được

$\frac{3+{\displaystyle \frac{9}{3}}}{{a_1}^2+{\displaystyle \frac{9}{{a_1}^2}}}=\frac{1}{2}\iff {a_1}^2+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle {a_1}^2}}=12.$

Vậy AB=IA=$\sqrt{{a_1}^2+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle {a_1}^2}}}=2\sqrt{3}.$

Chọn B.