Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y=3x−1x−3. Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng: A. 82 B. 2017 C. 8 D. 4

Đáp án CTa có: y=3x−1x−3⇒y=3+8x−3⇒y−3=8x−3Đặt X=x−3Y=y−3. Ta có: Y=8XGọi MX1;8X1 thuộc nhánh trái, NX2;8X2 thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,Với X1<0<X2. Ta có: MN2=X2−X12+641X2−1X12⇒MN2=2X2−X12.641X2−1X12⇒MN2≥16X2−X11X2−1X1⇒MN2≥16X2−X1X1X2⇒MN2≥16−4X1X2−X1X2=64Do vậy MN≥8Dấu bằng xảy ra ⇔X2=−X1X2−X12=641X2−1X12⇔X1=−22X2=22Vậy với M−22;−22;N22;22 thì MN có độ dài ngắn nhất bằng 8

Câu hỏi:

15/05/2021 8,810

Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng:

A. $8 \sqrt{2}$

B. 2017

C. 8

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 65 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Ta có: $y = \frac{3 x - 1}{x - 3} \Rightarrow y = 3 + \frac{8}{x - 3} \Rightarrow y - 3 = \frac{8}{x - 3}$

Đặt $\{\begin{matrix} X = x - 3 \\ Y = y - 3 \end{matrix}$ . Ta có: $Y = \frac{8}{X}$

Gọi $M (X_{1}; \frac{8}{X_{1}})$ thuộc nhánh trái, $N (X_{2}; \frac{8}{X_{2}})$ thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,

Với $X_{1} < 0 < X_{2}$ . Ta có: $M N^{2} = {(X_{2} - X_{1})}^{2} + 64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2}$

$\Rightarrow M N^{2} = 2 \sqrt{{(X_{2} - X_{1})}^{2} .64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2}} \Rightarrow M N^{2} \geq 16 |(X_{2} - X_{1}) (\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})| \Rightarrow M N^{2} \geq 16 \frac{(X_{2} - X_{1})}{|X_{1} X_{2}|} \Rightarrow M N^{2} \geq 16 \frac{- 4 X_{1} X_{2}}{- X_{1} X_{2}} = 64$

Do vậy $M N \geq 8$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} X_{2} = - X_{1} \\ {(X_{2} - X_{1})}^{2} = 64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} X_{1} = - 2 \sqrt{2} \\ X_{2} = 2 \sqrt{2} \end{matrix}$

Vậy với $M (- 2 \sqrt{2}; - 2 \sqrt{2}); N (2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{2})$ thì MN có độ dài ngắn nhất bằng 8

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Đặt $g (x) = f (x) - x$ . Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. x = 2

B. x = 0

C. x = -1

D. x = 1

Lời giải

Đáp án C

Ta có: $g' (x) = f' (x) - 1$ . Do đó đồ thị hàm số g'(x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số f'(x) đi xuống 1 đơn vị

Quan sát đồ thị hàm số g'(x) ta thấy g'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = - 1

Do đó g(x) đạt cực đại tại x = - 1

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên. Đặt $g (x) = f (\sqrt{x^{2} + x + 2})$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. g(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)

B. g(x) đồng biến trên khoảng (-1;0)

C. g(x) nghịch biến trên khoảng $(\frac{- 1}{2}; 0)$

D. g(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

Lời giải

Đáp án C

Hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ; $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ có đồ thị như hình vẽ

Do đó $x = 0 \Rightarrow d = 4; x = 2 \Rightarrow 8 a + 4 b + 2 c + d = 0$ ; $f' (2) = 0 \Leftrightarrow 12 + 4 b + x = 0$ ; $f' (0) = 0 \Leftrightarrow c = 0$

Tìm được $a = 1; b = - 3; c = 0; d = 4$ và hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Ta có:

$g (x) = f (\sqrt{x^{2} + x + 2}) = {(\sqrt{x^{2} + x + 2})}^{3} - 3 (x^{2} + x + 2) + 4 \Rightarrow g' (x) = \frac{3}{2} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x + 2} - 3 (2 x + 1) = 3 (2 x + 1) (\frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + x + 2} - 1) g' (x) = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Bảng xét dấu của g(x):

Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng $(\frac{- 1}{2}; 0)$

Câu 3

Cho đường cong $(C) : y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ và M là một điểm nằm trên (C). Giả sử $d_{1}, d_{2}$ tương ứng là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó $d_{1} . d_{2}$ bằng:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng:

A. $2 \sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ thỏa mãn $\{\begin{matrix} a + b > 1 \\ 3 + 2 a + b < 0 \end{matrix}$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (|x|)|$ bằng:

A. 5

B. 9

C. 2

D. 11

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m^{2} - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 3

B. 5

C. 4

D. Vô số

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Đặt $g (x) = f (x) - x$ . Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên. Đặt $g (x) = f (\sqrt{x^{2} + x + 2})$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho đường cong $(C) : y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ và M là một điểm nằm trên (C). Giả sử $d_{1}, d_{2}$ tương ứng là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó $d_{1} . d_{2}$ bằng:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ thỏa mãn $\{\begin{matrix} a + b > 1 \\ 3 + 2 a + b < 0 \end{matrix}$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (|x|)|$ bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m^{2} - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?