Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y=3x−1x−3. Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng: A. 82 B. 2017 C. 8 D. 4

Đáp án CTa có: y=3x−1x−3⇒y=3+8x−3⇒y−3=8x−3Đặt X=x−3Y=y−3. Ta có: Y=8XGọi MX1;8X1 thuộc nhánh trái, NX2;8X2 thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,Với X1<0<X2. Ta có: MN2=X2−X12+641X2−1X12⇒MN2=2X2−X12.641X2−1X12⇒MN2≥16X2−X11X2−1X1⇒MN2≥16X2−X1X1X2⇒MN2≥16−4X1X2−X1X2=64Do vậy MN≥8Dấu bằng xảy ra ⇔X2=−X1X2−X12=641X2−1X12⇔X1=−22X2=22Vậy với M−22;−22;N22;22 thì MN có độ dài ngắn nhất bằng 8

Câu hỏi:

15/05/2021 6,069

Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng:

A. $8 \sqrt{2}$

B. 2017

C. 8

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 65 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Ta có: $y = \frac{3 x - 1}{x - 3} \Rightarrow y = 3 + \frac{8}{x - 3} \Rightarrow y - 3 = \frac{8}{x - 3}$

Đặt $\{\begin{matrix} X = x - 3 \\ Y = y - 3 \end{matrix}$ . Ta có: $Y = \frac{8}{X}$

Gọi $M (X_{1}; \frac{8}{X_{1}})$ thuộc nhánh trái, $N (X_{2}; \frac{8}{X_{2}})$ thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,

Với $X_{1} < 0 < X_{2}$ . Ta có: $M N^{2} = {(X_{2} - X_{1})}^{2} + 64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2}$

$\Rightarrow M N^{2} = 2 \sqrt{{(X_{2} - X_{1})}^{2} .64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2}} \Rightarrow M N^{2} \geq 16 |(X_{2} - X_{1}) (\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})| \Rightarrow M N^{2} \geq 16 \frac{(X_{2} - X_{1})}{|X_{1} X_{2}|} \Rightarrow M N^{2} \geq 16 \frac{- 4 X_{1} X_{2}}{- X_{1} X_{2}} = 64$

Do vậy $M N \geq 8$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} X_{2} = - X_{1} \\ {(X_{2} - X_{1})}^{2} = 64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} X_{1} = - 2 \sqrt{2} \\ X_{2} = 2 \sqrt{2} \end{matrix}$

Vậy với $M (- 2 \sqrt{2}; - 2 \sqrt{2}); N (2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{2})$ thì MN có độ dài ngắn nhất bằng 8

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Đặt $g (x) = f (x) - x$ . Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. x = 2

B. x = 0

C. x = -1

D. x = 1

Lời giải

Đáp án C

Ta có: $g' (x) = f' (x) - 1$ . Do đó đồ thị hàm số g'(x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số f'(x) đi xuống 1 đơn vị

Quan sát đồ thị hàm số g'(x) ta thấy g'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = - 1

Do đó g(x) đạt cực đại tại x = - 1

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên. Đặt $g (x) = f (\sqrt{x^{2} + x + 2})$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. g(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)

B. g(x) đồng biến trên khoảng (-1;0)

C. g(x) nghịch biến trên khoảng $(\frac{- 1}{2}; 0)$

D. g(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

Lời giải

Đáp án C

Hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ; $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ có đồ thị như hình vẽ

Do đó $x = 0 \Rightarrow d = 4; x = 2 \Rightarrow 8 a + 4 b + 2 c + d = 0$ ; $f' (2) = 0 \Leftrightarrow 12 + 4 b + x = 0$ ; $f' (0) = 0 \Leftrightarrow c = 0$

Tìm được $a = 1; b = - 3; c = 0; d = 4$ và hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Ta có:

$g (x) = f (\sqrt{x^{2} + x + 2}) = {(\sqrt{x^{2} + x + 2})}^{3} - 3 (x^{2} + x + 2) + 4 \Rightarrow g' (x) = \frac{3}{2} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x + 2} - 3 (2 x + 1) = 3 (2 x + 1) (\frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + x + 2} - 1) g' (x) = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Bảng xét dấu của g(x):

Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng $(\frac{- 1}{2}; 0)$

Câu 3

Cho đường cong $(C) : y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ và M là một điểm nằm trên (C). Giả sử $d_{1}, d_{2}$ tương ứng là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó $d_{1} . d_{2}$ bằng:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ thỏa mãn $\{\begin{matrix} a + b > 1 \\ 3 + 2 a + b < 0 \end{matrix}$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (|x|)|$ bằng:

A. 5

B. 9

C. 2

D. 11

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m^{2} - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 3

B. 5

C. 4

D. Vô số

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng:

A. $2 \sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y=3x−1x−3. Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Đặt gx=fx−x. Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Cho hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình bên. Đặt gx=fx2+x+2. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho đường cong C:y=2x+3x−1 và M là một điểm nằm trên (C). Giả sử d1,d2 tương ứng là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó d1.d2 bằng:

Cho hàm số f(x)=x3+ax2+bx−2 thỏa mãn a+b>13+2a+b<0. Số điểm cực trị của hàm số y=fx bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x8+m−2x5−m2−4x4+1 đạt cực tiểu tại x = 0?

Cho hàm số y=x−2x+1 có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Đặt $g (x) = f (x) - x$ . Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên. Đặt $g (x) = f (\sqrt{x^{2} + x + 2})$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho đường cong $(C) : y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ và M là một điểm nằm trên (C). Giả sử $d_{1}, d_{2}$ tương ứng là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó $d_{1} . d_{2}$ bằng:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ thỏa mãn $\{\begin{matrix} a + b > 1 \\ 3 + 2 a + b < 0 \end{matrix}$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (|x|)|$ bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m^{2} - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng: