Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=x^8+\left(m-2\right)x^5-\left(m^2-4\right)x^4+1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=x^3\left[8x^4+5x\left(m-2\right)-4\left(m^2-4\right)\right]=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ g\left(x\right)=8x^4+5x\left(m-2\right)-4\left(m^2-4\right)=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do x = 0 là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 $\iff y\text{'}$ đổi dấu từ - sang + khi qua nghiệm x = 0.

+ TH1: x = 0 là nghiệm của g(x) hay $m=\pm 2$

Với m = 2 thì g(x) = 0 có nghiệm x = 0 bội 4 theo kết quả ở trên thì x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn m = 2.

Với m = - 2 thì g(x) có nghiệm x = 0 và 1 nghiệm dương, lúc này x = 0 là nghiệm bội 4 của f'(x) nên x = 0 không là điểm cực trị của hàm số. Loại m = - 2.

+ TH2: x = 0 không là nghiệm của g(x) hay $m\ne \pm 2$. Ta có: $g\left(0\right)=-4\left(m^2-4\right)$

$y\text{'}=x^{3}g\left(x\right)$ đổi dấu từ - sang + qua nghiệm x = 0 khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)>0\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }g\left(x\right)>0\end{array}\right.$

$\iff -4\left(m^2-4\right)>0\iff m^2-4<0\iff -2<m<2$

Do m nguyên nên $m\in \left\{-1;0;1\right\}$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m\in \left\{-1;0;1;2\right\}$