Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng:

Đáp án A

Ta có x = - 1 là TCĐ của đồ thị hàm số, y = 1 là TCN của đồ thị hàm số.

$\Rightarrow I\left(-1;1\right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của dồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\Delta IAB$ là tam giác đều.

$\Rightarrow IH$ vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\widehat{AIB}\Rightarrow IH$ cũng là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

$\Rightarrow IH:y=-x$

Ta có: $AB\perp IH\Rightarrow AB:y=x+m\iff x-y+m=0$

$\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\frac{\left|-1-1+m\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|m-2\right|}{\sqrt{2}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x-2}{x+1}=x+m\iff x^2+mx+m+2=0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\iff m^2-4\left(m+2\right)>0\iff m^2-4m>8$

Khi đó hoành độ các giao điểm A, B là nghiệm của phương trình trên

Gọi $A\left(x_1;x_1+m\right);B\left(x_2;x_2+m\right)$

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-m\\ x_1.x_2=m+2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow A{B}^2={\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(x_1+m-x_2-m\right)}^2 \\ =2{\left(x_1-x_2\right)}^2=2{\left(x_1+x_2\right)}^2-8x_1{x}_2 \\ =2m^2-8\left(m+2\right) \end{gathered}$$

Do tam giác IAB đều nên $d\left(I;AB\right)=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\iff d^2\left(I;AB\right)=\frac{3A{B}^2}{4}$

$\iff \frac{{\left(m-2\right)}^2}{2}=\frac{3\left[2m^2-8\left(m+2\right)\right]}{4}\iff m^2-4m=14$ (thỏa mãn đk $m^2-4m>8$)

$$\begin{gathered} \Rightarrow AB=\sqrt{2{\left(x_1-x_2\right)}^2}=\sqrt{2m^2-8\left(m+2\right)} \\ =\sqrt{2\left(m^2-4m-8\right)}=\sqrt{2.\left(14-8\right)}=2\sqrt{3} \end{gathered}$$