Câu hỏi:

04/06/2021 616

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3 (x^{3} - y^{3}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

A. 100

B. 66

C. 110

D. 90

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án (Vận dụng) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Theo giả thiết:

$x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$

$\Leftrightarrow y^{2} + (x - 4) y + x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn y và khi đó điều kiện có nghiệm là:

$Δ = {(x - 4)}^{2} - 4 (x^{2} - 3 x + 4) \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 - 4 x^{2} + 12 x - 16 \geq 0$

$\Leftrightarrow - 3 x^{2} + 4 x \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{4}{3}$

Từ giả thiết suy ra $x^{2} + y^{2} + x y = 4 y + 3 x - 4$ . Khi đó:

$P = 3 (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 3 (x - y) (3 x + 4 y - 4) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 3 (3 x^{2} + x y - 4 y^{2} - 4 x + 4 y) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 29 x^{2} + 5 x y - 7 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = (5 x^{2} + 5 x y + 5 y^{2}) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 5 (x^{2} + x y + y^{2}) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 5 (3 x + 4 y - 4) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 24 x^{2} - 12 y^{2} + 42 x + 32 y - 20$

$P = 2 (12 x^{2} - 6 y^{2} + 21 x + 16 y) - 20$

Đặt $g (y) = - 6 y^{2} + 16 y + 21 x + 12 x^{2}$ (ta xem x là tham số)

Khi đó $g (y) \leq g (\frac{4}{3}) = 12 x^{2} + 21 x + \frac{32}{3}$

Do $x \in [0; \frac{4}{3}]$ nên $12 x^{2} + 21 x + \frac{32}{3} \leq 60$

Suy ra $g (y) \leq 60$ . Vậy giá trị lớn nhất của P là 100 khi $x = y = \frac{4}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ . Tổng các giá trị của tham số thực m để $M = \frac{71}{2}$

A. 4

B. -3

C. 9

D. 5

Lời giải

Lời giải:

Đặt $h (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m$ ta có: $h' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Ta thấy $m - 32 < m - 5 < m < m + 27$

TH1: $m - 32 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 32$

$\Rightarrow M = m + 27 = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = \frac{17}{2}$ (ktm)

TH2: $m - 32 < 0 \leq m - 5 \Leftrightarrow 5 \leq m < 32$

$\Rightarrow M \in \{32 - m; m + 27\}$

Nếu $m + 27 \geq 32 - m \Leftrightarrow 2 m \geq 5 \Leftrightarrow m \geq \frac{5}{2}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow 5 \leq m < 32$ , khi đó:

$M = m + 27 = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = \frac{17}{2}$ (tm)

Nếu $m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow m \in \emptyset$

TH3: $m - 5 < 0 \leq m \Leftrightarrow 0 \leq m < 5$

$\Rightarrow M \in \{32 - m; m + 27\}$

Nếu $\Rightarrow M \in \{32 - m; m + 27\}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow \frac{5}{2} \leq m < 5$ , khi đó:

$M = m + 27 = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = \frac{17}{2}$ (ktm)

Nếu $m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow 0 \leq m < \frac{5}{2}$ , khi đó

$M = 32 - m = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{7}{2}$ (ktm)

TH4: $m + 27 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 27$ , khi đó $M = 32 - m = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{7}{2}$ (tm)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m \in \{\frac{17}{2}; - \frac{7}{2}\}$ , tổng các giá trị của m là:

$\frac{17}{2} + (- \frac{7}{2}) = \frac{10}{2} = 5$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (1 - 2 \cos x)$ trên $[0; \frac{3 π}{2}]$ . Giá trị của $M + m$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. 1

D. 2

Lời giải

Lời giải:

Đặt $t = 1 - 2 \cos x$ . Với $x \in [0; \frac{3 π}{2}]$ thì $\cos x \in [- 1; 1] \Rightarrow 1 - 2 \cos x \in [- 1; 3] \Rightarrow t \in [- 1; 3]$

Khi đó ta có: $y = f (t)$ với $t \in [- 1; 3]$

Quan sát đồ thị hàm số $y = f (t)$ trên đoạn $[- 1; 3]$ ta thấy GTLN của hàm số là 2, GTNN của hàm số là $\frac{- 3}{2}$

$\Rightarrow M = 2, m = - \frac{3}{2} \Rightarrow M + m = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \sqrt{4 - x^{2}}$ . Khi đó $M + m$ bằng

A. 4

B. $2 - 2 \sqrt{2}$

C. $2 (\sqrt{2} - 1)$

D. $2 (\sqrt{2} + 1)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ( $a > x > 0)$ . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất

A. $x = \frac{a}{π + 4} (c m)$

B. $x = \frac{2 a}{π + 4} (c m)$

C. $x = \frac{π a}{π + 4} (c m)$

D. $x = \frac{4 a}{π + 4} (c m)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

A. $y = x^{3} - 3 x + 2$

B. $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{4} + 4 x^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$

A. $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{256}{27}$

C. 3

D. $\sqrt{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sin^{2} x - \cos x + 1$ . Khi đó, giá trị của tổng M + m bằng:

A. $\frac{25}{8}$

B. $\frac{25}{6}$

C. $\frac{25}{2}$

D. $\frac{25}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2+y2+xy+4=4y+3x. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=3x3−y3+20x2+2xy+5y2+39x

Cho hàm số fx=3x4−4x3−12x2+m. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn −1;3. Tổng các giá trị của tham số thực m để M=712

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f1−2cosx trên 0;3π2. Giá trị của M+m bằng:

Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=x−4−x2. Khi đó M+m bằng

Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x−3x+1 trên đoạn 0;4. Tính M+2N

Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin2x−cosx+1. Khi đó, giá trị của tổng M + m bằng:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3 (x^{3} - y^{3}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

Cho hàm số $f (x) = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ . Tổng các giá trị của tham số thực m để $M = \frac{71}{2}$

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (1 - 2 \cos x)$ trên $[0; \frac{3 π}{2}]$ . Giá trị của $M + m$ bằng:

Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \sqrt{4 - x^{2}}$ . Khi đó $M + m$ bằng

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$

Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sin^{2} x - \cos x + 1$ . Khi đó, giá trị của tổng M + m bằng: