Câu hỏi:

04/06/2021 657

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3 (x^{3} - y^{3}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

A. 100

B. 66

C. 110

D. 90

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án (Vận dụng) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Theo giả thiết:

$x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$

$\Leftrightarrow y^{2} + (x - 4) y + x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn y và khi đó điều kiện có nghiệm là:

$Δ = {(x - 4)}^{2} - 4 (x^{2} - 3 x + 4) \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 - 4 x^{2} + 12 x - 16 \geq 0$

$\Leftrightarrow - 3 x^{2} + 4 x \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{4}{3}$

Từ giả thiết suy ra $x^{2} + y^{2} + x y = 4 y + 3 x - 4$ . Khi đó:

$P = 3 (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 3 (x - y) (3 x + 4 y - 4) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 3 (3 x^{2} + x y - 4 y^{2} - 4 x + 4 y) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 29 x^{2} + 5 x y - 7 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = (5 x^{2} + 5 x y + 5 y^{2}) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 5 (x^{2} + x y + y^{2}) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 5 (3 x + 4 y - 4) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 24 x^{2} - 12 y^{2} + 42 x + 32 y - 20$

$P = 2 (12 x^{2} - 6 y^{2} + 21 x + 16 y) - 20$

Đặt $g (y) = - 6 y^{2} + 16 y + 21 x + 12 x^{2}$ (ta xem x là tham số)

Khi đó $g (y) \leq g (\frac{4}{3}) = 12 x^{2} + 21 x + \frac{32}{3}$

Do $x \in [0; \frac{4}{3}]$ nên $12 x^{2} + 21 x + \frac{32}{3} \leq 60$

Suy ra $g (y) \leq 60$ . Vậy giá trị lớn nhất của P là 100 khi $x = y = \frac{4}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ . Tổng các giá trị của tham số thực m để $M = \frac{71}{2}$

A. 4

B. -3

C. 9

D. 5

Lời giải

Lời giải:

Đặt $h (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m$ ta có: $h' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Ta thấy $m - 32 < m - 5 < m < m + 27$

TH1: $m - 32 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 32$

$\Rightarrow M = m + 27 = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = \frac{17}{2}$ (ktm)

TH2: $m - 32 < 0 \leq m - 5 \Leftrightarrow 5 \leq m < 32$

$\Rightarrow M \in \{32 - m; m + 27\}$

Nếu $m + 27 \geq 32 - m \Leftrightarrow 2 m \geq 5 \Leftrightarrow m \geq \frac{5}{2}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow 5 \leq m < 32$ , khi đó:

$M = m + 27 = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = \frac{17}{2}$ (tm)

Nếu $m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow m \in \emptyset$

TH3: $m - 5 < 0 \leq m \Leftrightarrow 0 \leq m < 5$

$\Rightarrow M \in \{32 - m; m + 27\}$

Nếu $\Rightarrow M \in \{32 - m; m + 27\}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow \frac{5}{2} \leq m < 5$ , khi đó:

$M = m + 27 = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = \frac{17}{2}$ (ktm)

Nếu $m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}$ , kết hợp điều kiện $\Rightarrow 0 \leq m < \frac{5}{2}$ , khi đó

$M = 32 - m = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{7}{2}$ (ktm)

TH4: $m + 27 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 27$ , khi đó $M = 32 - m = \frac{71}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{7}{2}$ (tm)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m \in \{\frac{17}{2}; - \frac{7}{2}\}$ , tổng các giá trị của m là:

$\frac{17}{2} + (- \frac{7}{2}) = \frac{10}{2} = 5$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \sqrt{4 - x^{2}}$ . Khi đó $M + m$ bằng

A. 4

B. $2 - 2 \sqrt{2}$

C. $2 (\sqrt{2} - 1)$

D. $2 (\sqrt{2} + 1)$

Lời giải

Lời giải:

Ta có: $y = x - \sqrt{4 - x^{2}}$

TXĐ: $D = [- 2; 2]$

$\Rightarrow y' = 1 + \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \Leftrightarrow y' = 0$ $\Leftrightarrow x + \sqrt{4 - x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = - x$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} = 4 - x^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \leq 0 \\ [\begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow x = - \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y (2) = 2 \\ y (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \\ y (- 2) = - 2 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} M = \max_{[- 2; 2]} y = y (2) = 2 \\ m = \max_{[- 2; 2]} y = y (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \end{matrix}$

$\Rightarrow m + m = 2 - 2 \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (1 - 2 \cos x)$ trên $[0; \frac{3 π}{2}]$ . Giá trị của $M + m$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. 1

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ( $a > x > 0)$ . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất

A. $x = \frac{a}{π + 4} (c m)$

B. $x = \frac{2 a}{π + 4} (c m)$

C. $x = \frac{π a}{π + 4} (c m)$

D. $x = \frac{4 a}{π + 4} (c m)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

A. $y = x^{3} - 3 x + 2$

B. $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{4} + 4 x^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$

A. $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{256}{27}$

C. 3

D. $\sqrt{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sin^{2} x - \cos x + 1$ . Khi đó, giá trị của tổng M + m bằng:

A. $\frac{25}{8}$

B. $\frac{25}{6}$

C. $\frac{25}{2}$

D. $\frac{25}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử