Cho Δ ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và BC = 4( cm ). Tính độ dài MN.

Do E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I là trung điểm của CD nên EI, FI theo thứ tự lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và ACD.

Đặt BD = AC = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình của hai tam giác trên ta có:

( 1 )      FI//BD       ( 2 )       FI = a

( 3 )      EI = a       ( 4 )      EI//AC

Từ ( 1 ) ⇒ $\widehat{E_1}=\widehat{F_1}$ (vì so le trong)       ( 5 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ FI = EI nên $\widehat{E_2}=\widehat{F_1}$ (vì trong tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau)       ( 6 )

Từ ( 5 ) và ( 6 ) ⇒ $\widehat{E_1}=\widehat{E_2}$

Từ ( 4 ) ⇒ $\widehat{BEI}=\hat{A}$ = 50⁰ (vì đồng vị)

Mà $\widehat{BEI}=2\widehat{E_1}\Rightarrow \widehat{E_1}$ = 25⁰

Đặt $\widehat{E_1}$ = α ,$\widehat{E_2}$ = β ⇒ $\widehat{AED}$ = α + β

Do E là trung điểm của BC theo giả thiết vẽ I là trung điểm của AD thì AI = ID = $\frac{AD}{2}$ = 3,5( cm ).       (1 )

Ta có EI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang ABCD ta có:

IE = $\frac{(AB + CD)}{2} = \frac{(2 + 5)}{2}$ = 3,5( cm )       ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có

(vì trong tam giác, đối diện với hai cạn bằng nhau là hai góc bằng nhau)

+ Xét tam giác ADE có $\widehat{A_1} + \widehat{AED} + \widehat{D_2}$ = 180⁰

Hay α + α + β + β = 2( α + β ) = 180⁰ ⇒ α + β = 90⁰

Do α + β = 90⁰ nên $\widehat{AED}$ = 90⁰.