Cho tam giác ABC có các đường phân giác là AD, BE, CF. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét cho OE//DC,

OF//DC và AB//DC ta được:

Điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A, ta được:

B C² = A C² + A B² ⇒ B C² = 15² + 20²

⇔ B C² = 25² ⇔ BC = 25( cm )

Đặt BD = x ⇒ DC = 25 - x

Áp dụng định lý Py 0 ta – go vào hai tam giác vuông AHB và AHC, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}A{B}^2=B{H}^2+H{A}^2\\ A{C}^2=C{H}^2+H{A}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}H{A}^2={15}^2-x^2 \left(1\right)\\ H{A}^2={20}^2-{\left(25-x\right)}^2 \left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ theo vế các đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

152 - x2 - 202 + ( 25 - x )2 = 0 ⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9( cm )

Nên HC = 25 - 9 = 16( cm )

Thay x = 9 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: H A2 = 152 - 92 = 122 ⇔ HA = 12( cm )

Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác AHB, ta được:

$\frac{DB}{DH}=\frac{AB}{HA}\Rightarrow \frac{DB}{DH}=\frac{5}{4}\Rightarrow \frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}=\frac{DB+DH}{5+\$}=\frac{BH}{9}=\frac{9}{9}=1\Rightarrow DH=4\left(cm\right)$

Áp dụng tính chất đường chất đường phân giác AE của tam giác ACH, ta được:

$\frac{EC}{EH}=\frac{CA}{HA}\Rightarrow \frac{EC}{EH}=\frac{5}{3}\Rightarrow \frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}=\frac{EC+EH}{3+5}=\frac{CH}{8}=\frac{16}{8}=2\Rightarrow HE=6\left(cm\right)$