Dãy số (un) được xác định bằng công thức u1=1un+1=un+n3'n≥1. Tìm công thức của số hạng tổng quát.

Ta có un+1=un+n3⇒un+1−un=n3. Từ đó suy ra u1=1;u2−u1=13;u3−u2=23;...un−1−un−2=n−23;un−un−1=n−13. Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được u1+u2−u1+u1−u2+...+un−1−un−2+un−un−1=1+13+23+33+...+n−23+n−13⇔un=1+13+23+33+...+n−23+n−13 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 13+23+33+...+n−13=n−12.n24 Vậy un=1+n2n−124

Câu hỏi:

19/08/2025 5,020

Dãy số $(u_{n})$ được xác định bằng công thức $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3'} \end{cases} n \geq 1$ . Tìm công thức của số hạng tổng quát.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $u_{n + 1} = u_{n} + n^{3} \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = n^{3} .$ Từ đó suy ra

$\begin{array}{l} u_{1} = 1; \\ u_{2} - u_{1} = 1^{3}; \\ u_{3} - u_{2} = 2^{3}; \\ ... \\ u_{n - 1} - u_{n - 2} = {(n - 2)}^{3}; \\ u_{n} - u_{n - 1} = {(n - 1)}^{3} . \end{array}$

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được

$\begin{array}{l} u_{1} + u_{2} - u_{1} + u_{1} - u_{2} + ... + u_{n - 1} - u_{n - 2} + u_{n} - u_{n - 1} \\ = 1 + 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + {(n - 2)}^{3} + {(n - 1)}^{3} \\ \Leftrightarrow u_{n} = 1 + 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + {(n - 2)}^{3} + {(n - 1)}^{3} \end{array}$

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + {(n - 1)}^{3} = \frac{{(n - 1)}^{2} . n^{2}}{4}$

Vậy

u_{n} = 1 + \frac{n^{2} {(n - 1)}^{2}}{4}

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Vào phòng luyện đề →Luyện đề →

Lớp 11 Văn

292 người thi tuần này

16 câu Trắc nghiệm Tác phẩm Tôi có một ước mơ Kết nối tri thức có đáp án

16 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Toán

162 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

20 câu 2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Hóa học

42 người thi tuần này

Trắc nghiệm Nitrogen lớp 11 (có đáp án - phần 2)

30 câu 4.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tiếng Anh

187 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 Global Success Unit 3 Phonetics and Speaking (có đáp án)

20 câu 0.9 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Sinh học

265 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Sinh học 11 Kết nối tri thức Bài 4 có đáp án

15 câu 3.5 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Lịch sử

1,475 người thi tuần này

25 câu Trắc nghiệm Lịch Sử 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

25 câu 20.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Địa lý

96 người thi tuần này

36 câu Trắc nghiệm Địa lí 11 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án (Phần 2)

36 câu 1.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tin học

987 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Tin học 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 9.7 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau $\{\begin{cases} u_{1} = 1; u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} + 3 u_{n} + 5 \end{cases}$ . Tìm số hạng u₇.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Câu 2

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5, n \in ℕ^{} \end{cases}$ . Giá trị u₁₀* là

A. 57

B. 62

C. 47

D. 52

Lời giải

Chọn C

Từ $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5, n \in ℕ^{*} \end{cases}$ , ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 5$

=> dãy $(u_{n})$ là một cấp số cộng với công sai d=5 nên $u_{10} = u_{1} + 9 d = 2 + 45 = 47$

Câu 3

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \end{cases}$ . Tìm số hạng $u_{50}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho dãy số $(u_{n})$ có $u_{n} = - n^{2} + n + 1$ . Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy?

A. 5

B. 7

C. 6

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 2 n + 1$ . Số hạng thứ 2019 của dãy là

A. 4039

B. 4390

C. 4930

D. 4093

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 1}$ , biết $u_{k} = \frac{2}{13} .$ Hỏi u_k là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

A. Thứ năm.

B. Thứ sáu.

C. Thứ ba.

D. Thứ tư.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho dãy số $(u_{n})$ có $u_{1} = 7; u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3.$ Khi đó u₃ bằng

A. 17

B. 77

C. 37

D. 9

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Dãy số $(u_{n})$ được xác định bằng công thức $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3'} \end{cases} n \geq 1$ . Tìm công thức của số hạng tổng quát.

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau $\{\begin{cases} u_{1} = 1; u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} + 3 u_{n} + 5 \end{cases}$ . Tìm số hạng u₇.

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5, n \in ℕ^{} \end{cases}$ . Giá trị u₁₀* là