Người ta muốn thành lập một uỷ ban gồm 6 thành viên, trong đó có ít nhất 3 thành viên nữ từ một nhóm đại biểu gồm 6 nam và 4 nữ. Số các cách thành lập uỷ ban như vậy là

A. 100.

B. 210.

C. 60.

D. 95.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do chỉ có 4 đại biểu nữ nên có 2 phương án:

– Phương án 1: uỷ ban gồm 3 nữ và 3 nam;

– Phương án 2: uỷ ban gồm 4 nữ và 2 nam.

+) Đối với phướng án 1:

Số cách chọn ra 3 người từ 4 đại biểu nữ (không khác nhau) là:

\(C_4^3 = \frac{{4!}}{{3!(4 - 3)!}} = \frac{{4.3.2.1}}{{3.2.1.1}} = \frac{{4.3.2}}{{3.2.1}} = 4\) (cách).

Số cách chọn ra 3 người từ 6 đại biểu nam (không khác nhau) là:

\(C_6^3 = \frac{{6!}}{{3!(6 - 3)!}} = \frac{{6.5.4.3!}}{{3.2.1.3!}} = \frac{{6.5.4}}{{3.2.1}} = 20\) (cách).

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách chọn theo phương án 1 là:

4 . 20 = 80 (cách).

+) Đối với phương án 2: chỉ có duy nhất 1 cách chọn ra 4 người từ 4 đại biểu nữ (nghĩa là cả 4 đại biểu nữ sẽ nằm trong uỷ ban cần lập). Ngoài ra, số cách chọn ra 2 người từ 6 đại biểu nam (không khác nhau) là:

\(C_6^2 = \frac{{6!}}{{2!(6 - 2)!}} = \frac{{6.5.4!}}{{2.1.4!}} = \frac{{6.5}}{{2.1}} = 15\) (cách).

Do đó, có đúng 15 cách chọn theo phương án 2.

Từ đó, theo quy tắc cộng thì số các cách thành lập uỷ ban là:

80 + 15 = 95 (cách).