Tính \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^5}\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ lần lượt với \(a = \sqrt 3 \) và \(b = \sqrt 2 \), rồi \(a = \sqrt 3 \) và\(b = - \sqrt 2 \), ta có

\({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^5}\)

\( = \left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}.\sqrt 2 + 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + 5\sqrt 3 .{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^5}} \right)\)

\( - \left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}.\sqrt 2 + 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 10{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + 5\sqrt 3 .{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^5}} \right)\)

\( = 10{\left( {\sqrt 3 } \right)^4}.\sqrt 2 + 20{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 2{\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\)

\( = 10.9.\sqrt 2 + 20.3.2\sqrt 2 + 2.4\sqrt 2 \)

\( = 218\sqrt 2 \).