Câu hỏi:

22/09/2022 1,959

Cho hình chóp S.ABC có M là điểm di động trên cạnh SA sao cho $\frac{S M}{S A} = k (k \in ℝ, 0 < k < 1) .$ Gọi $(α)$ là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng $(A B C)$ . Tìm k để mặt phẳng $(α)$ cắt hình chóp S.ABC theo một thiết diện có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

A. $k = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

B. $k = \frac{1}{3} .$

C. $k = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

D. $k = \frac{1}{2} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 37 Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 4: Mặt phẳng song song với mặt phẳng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có M là điểm di động trên cạnh SA sao cho SM/SA = k (k thuộc R, 0 < k < 1) (ảnh 1)

Gọi N, P là hai điểm lần lượt thuộc SB, SC thỏa mãn $M N // A B, M P // A C .$

Ta có $\{\begin{cases} M N // A B \Rightarrow M N // (A B C) \\ M P // A C \Rightarrow M P // (A B C) \end{cases} \Rightarrow (M N P) // (A B C) .$

Gọi $h_{1}$ là đường cao của $Δ M N P$ ứng với đáy MN.

Gọi $h_{2}$ là đường cao của $Δ A B C$ ứng với đáy AB.

Dễ thấy $Δ M N P$ đồng dạng $Δ A B C$ ta có $\frac{M N}{A B} = \frac{h_{1}}{h_{2}} = k .$

Vậy để thỏa mãn yêu cầu bài toán

$\frac{S_{Δ M N P}}{S_{Δ A B C}} = \frac{\frac{1}{2} h_{1} . M N}{\frac{1}{2} h_{2} . A B} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k . k = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy C là hình thang cân với cạnh bên $B C = 2,$ hai đáy $A B = 6, C D = 4.$ Mặt phẳng $(P)$ song song với $(A B C D)$ và cắt cạnh SA tại M sao cho $S A = 3 S M .$ Diện tích thiết diện của $(P)$ và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

A. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{7 \sqrt{3}}{9} .$

C. 2.

D. $\frac{5 \sqrt{3}}{9} .$

Lời giải

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy C là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB = 6, CD = 4 (ảnh 1)

Trong mặt phẳng $(S A D)$ kẻ $M N // A D, (S D C)$ kẻ $N P // D C, (S B C)$ kẻ $P Q // B C .$

Suy ra thiết diện của $(P)$ và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ.

Gọi CH là đường cao trong hình thang ABCD ta có $C H = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} .$

Suy ra $S_{A B C D} = \frac{(A B + D C)}{2} C H = \frac{(4 + 6)}{2} . \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} .$

Do MNPQ đồng dạng với ABCD theo tỷ số $k = \frac{1}{3}$ nên $S_{M N P Q} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{2}} = \frac{5 \sqrt{3}}{9} .$

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp. (ảnh 1)

Gọi $\{O\} = A C \cap D B .$

Do SO nằm trong $(S B D)$ nên $S O // (α) .$

Mặt phẳng (SAC) chứa SO và có điểm chung với $(α)$ là I, do đó $(S A C) \cap (α) = I K$ với $I K // S O$ và $K \in S A .$

Tương tự $(S A B) \cap (α) = K E$ với $K E // S B$ và $E \in A B .$

$(S A D) \cap (α) = K F$ với $K F // S D$ và $F \in A D .$

Suy ra thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD là tam giác KEF.

Ta có $\frac{E F}{B D} = \frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A D} = \frac{A K}{A S} = \frac{K E}{S B} = \frac{K F}{S D}$

$\Rightarrow Δ S B D$ đồng dạng với $Δ K E F .$

Tam giác SBD là tam giác đều nên $Δ K E F$ cũng là tam giác đều.

Vậy thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều.

Câu 3

Đặc điểm nào sau đây đúng với hình lăng trụ?

A. Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau

B. Đáy của hình lăng trụ là hình bình hành

C. Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên là hình bình hành

D. Hình lăng trụ có tất cả các mặt là hình bình hành

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD tại O còn A'C' cắt B'D' tại O'. Khi đó (AB'D') sẽ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $(A^{'} O C^{'}) .$

B. $(B D A^{'}) .$

C. $(B D C^{'}) .$

D. $(B C D) .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC', AB'C'. Chứng minh (IJK) // (BB'C)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A và A' và có $\frac{AB}{A^{'} B^{'}} = \frac{1}{2} .$ Khi đó tỉ số diện tích $\frac{S_{ΔABC}}{S_{{ΔA}^{'} B^{'} C^{'}}}$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, SAD là tam giác đều. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB, AM = x, (P) là mặt phẳng qua M song song với (SAD). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học