c) Gọi M, N là trung điểm BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp đi qua M, N và song song với SC. Tính diện tích thiết diện.

c) Gọi $\left\{I\right\}=MN\cap AC$ . Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại Q.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}IQquaI\in \left(P\right)\\ IQ/\text{}/SC\\ SC/\text{}/\left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow IQ\subset \left(P\right)$  hay $\left(P\right)\equiv \left(QMN\right)$ .

Gọi $\left\{K\right\}=SO\cap QI$ . Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại R, P.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}RPquaK\in \left(P\right)\\ RP/\text{}/MN\\ MN\subset \left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow RP\subset \left(P\right)$  hay  $\left(P\right)\equiv \left(MNPQR\right)$

Dựa vào hình vẽ ta có thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.

Ta có $S_{MNPQR}=S_{MNPR}+S_{PQR}$

Mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến RM và (P) song song với SC nên RM // SC.

Mặt phẳng (P) cắt (SCD) theo giao tuyến NP và (P) song song với SC nên NP // SC

Vậy tứ giác MNPR là hình bình hành có $MN\perp NP$  (do MN // BD; NP // SC; $BD\perp SC$ ) nên là hình chữ nhật.

Tam giác PQR có PR // BD; $BD\perp \left(SAC\right)$  chứa QK nên là $QK\perp PR$ .

Do QK // SC và $\frac{AI}{AC}=\frac{3}{4}$  nên

$QI=\frac{3}{4}SC=\frac{3}{4}\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\frac{3}{4}\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{3a\sqrt{5}}{4}$