Cho hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm của BC và $\widehat{AMD}=90°$. Chứng minh: DM là phân giác của $\widehat{ADC}$.

a) Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho $\widehat{AIE}=\widehat{AIB}$ 

AI là tia phân giác của $\widehat{BAD} \Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{DAI}=\frac{\widehat{BAD}}{2}$    (1)

DI là tia phân giác của $\widehat{ADC} \Rightarrow \widehat{ADI}=\widehat{CDI}=\frac{\widehat{ADC}}{2}$    (2)

mà $\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180°$ (AB // CD) (3)

Từ (1), (2) và (3) => $\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=\frac{\widehat{BAD}}{2}+\frac{\widehat{ADC}}{2}=90°$

Mà $\Delta AID :\hspace{0.17em}\widehat{DAI}+\widehat{AID}+\widehat{AID}=180°$

=> $\widehat{AID}=90°$

Mà $\widehat{BIA}+\widehat{AID}+\widehat{DIC}=180°$ 

=> $\widehat{BIA}+\widehat{DIC}=90°$ 

Mà $\widehat{AIE}+\widehat{EID}=90°\left(\widehat{AID}=90°\right)$ và $\widehat{AIE}=\widehat{AIB}$

=> $\widehat{DIE}=\widehat{DIC}$

Xét $\Delta AIE$ và $\Delta AIB$ có:

$\widehat{EAI}=\widehat{BAI}$ 

AI chung

$$\begin{gathered} \widehat{AIE}=\widehat{AIB} \\ \Rightarrow \Delta AEI=\Delta BAI\left(g.c.g\right) \end{gathered}$$

=> AE = BD (4)

Chứng minh tương tự có $\Delta DEI=\Delta DCI\left(g.c.g\right)$ => DE = DC (5)

Mà AD = AE + dE (6)

Từ (4), (5) và (6) => AD = AB + DC