Dạng 4: Bài tập tự luyện có đáp án

$\Delta ABC$ vuông cân tại A $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{BAC}=90°\\ \widehat{ABC}=45°\end{array}\right.$

$\Delta BCD$ vuông cân tại B $\Rightarrow \widehat{BCD}=45°$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{BCD}\left(=45°\right)$

=> ABDC là hình thang

Mà $\widehat{BAC}=90°$

=> ABCD là hình thang vuông

a) Ta có $\widehat{A}+\widehat{A_1}=180°$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 8x-9°+3x-9°=180° \\ \Rightarrow x=18° \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{D}=45°\\ \widehat{A}=135°\\ \widehat{A_1}=45°\end{array}\right. \\ \Rightarrow \widehat{D}=\widehat{A_1} \\ \Rightarrow AB\parallel CD \end{gathered}$$

=> ABCD là hình thang

b) ABCD là hình thang

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=180°$

mà $\widehat{B}=\widehat{C}+32°$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{C}+32°+\widehat{C}=180° \\ \Rightarrow \widehat{C}=74° \\ \Rightarrow \widehat{B}=106° \end{gathered}$$

BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{IBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{IBC}=53°$

CI là tia phân giác của $\widehat{DCB}\Rightarrow \widehat{DCI}=\widehat{ICB}=\frac{\widehat{DCB}}{2}\Rightarrow \widehat{DCI}=\widehat{ICB}=37°$

Xét $\Delta BIC$ có: $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180°\Rightarrow \widehat{BIC}={180}^0-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=180°-\left({53}^0+{37}^0\right)=90°$

Qua B, kẻ BE // AD $\left(E\in DC\right)$

Hình thang ABCD có đáy AB và CD

=> AB // CD

=> AB // DE

=> ABED là hình thang

Mà BE // AD

$\Rightarrow AD=BE, AB=DE$ (theo tính chất hình thang có hai cạnh bên song song)

Mà $AD=3cm, AB=4cm$

=> $BE=3cm, DE=4cm$

Có $DC=DE+EC, DC=8cm, DE=4cm$

=> $EC=4cm$

Có $\left.\begin{array}{l}B{E}^2+C{E}^2=3^2+4^2=25\\ B{C}^2=5^2=25\end{array}\right\}\Rightarrow B{C}^2=B{E}^2+C{E}^2\Rightarrow \Delta BEC$ vuông tại E (theo định lý Pytago đảo)

=> $\widehat{BEC}=90°$

Mà $\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\left(BE\parallel AD\right)$ 

=> $\widehat{ADC}=90°$

Mà ABCD là hình thang

=> ABCD là hình thang vuông