Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.

Vẽ $HM\parallel AC\left(M\in AB\right),HN\parallel AB\left(N\in AC\right).$

Vì $CH\perp AB$ nên $CH\perp HN$. Vì $BH\perp AC$ nên $BH\perp HM.$

Xét $\Delta HBM$ vuông tại H có $BM>HB.$      (1)

Xét $\Delta HCN$ vuông tại H có $CN>HC$.       (2)

Xét hình bình hành ANHM có

$AM+AN=AM+MH>HA.$.                   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$BM+CN+AM+AN>HB+HC+HA$

do đó $\left(MB+AM\right)+\left(CN+AN\right)>HA+HB+HC$

hay $AB+AC>HA+HB+HC.$

Chứng minh tương tự, ta được: $BC+BA>HA+HB+HC$

                                         $CA+CB>HA+HB+HC.$

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$2\left(AB+BC+CA\right)>3\left(HA+HB+HC\right)$

Do đó $AB+BC+CA>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right).$