Câu hỏi:

12/07/2024 5,298

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn 32HA+HB+HC.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn 3/2 (HA + HB + HC) (ảnh 1)

Vẽ HMACMAB,HNABNAC.

CHAB nên CHHN. Vì BHAC nên BHHM.

Xét ΔHBM vuông tại H có BM>HB.      (1)

Xét ΔHCN vuông tại H có CN>HC.       (2)

Xét hình bình hành ANHM có

AM+AN=AM+MH>HA..                   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

BM+CN+AM+AN>HB+HC+HA

do đó MB+AM+CN+AN>HA+HB+HC

hay AB+AC>HA+HB+HC.

Chứng minh tương tự, ta được: BC+BA>HA+HB+HC

                                         CA+CB>HA+HB+HC.

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

2AB+BC+CA>3HA+HB+HC

Do đó AB+BC+CA>32HA+HB+HC.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc với nhau.

Xem đáp án » 12/07/2024 15,736

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,143

Câu 3:

Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) . Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B và tam giác ADN cân tại D sao cho ABM=ADN.

a) Chứng minh rằng CM = CN

Xem đáp án » 12/07/2024 3,389

Câu 4:

Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có đường chéo BD // PQ và BD // PQ. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,011

Câu 5:

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình thang cân.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,737

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các đỉnh A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng: AA' + CC' = BB' + DD' 

Xem đáp án » 12/07/2024 2,074