Câu hỏi:

12/07/2024 5,723

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn $\frac{3}{2} (H A + H B + H C)$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 8: Hình bình hành có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn 3/2 (HA + HB + HC) (ảnh 1)

Vẽ $H M ∥ A C (M \in A B), H N ∥ A B (N \in A C) .$

Vì $C H ⊥ A B$ nên $C H ⊥ H N$ . Vì $B H ⊥ A C$ nên $B H ⊥ H M .$

Xét $Δ H B M$ vuông tại H có $B M > H B .$ (1)

Xét $Δ H C N$ vuông tại H có $C N > H C$ . (2)

Xét hình bình hành ANHM có

$A M + A N = A M + M H > H A .$ . (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$B M + C N + A M + A N > H B + H C + H A$

do đó $(M B + A M) + (C N + A N) > H A + H B + H C$

hay $A B + A C > H A + H B + H C .$

Chứng minh tương tự, ta được: $B C + B A > H A + H B + H C$

$C A + C B > H A + H B + H C .$

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$2 (A B + B C + C A) > 3 (H A + H B + H C)$

Do đó $A B + B C + C A > \frac{3}{2} (H A + H B + H C) .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc với nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. (ảnh 1)

Vẽ hình bình hành DAEF. Khi đó AF đi qua M.

Gọi H là giao điểm của MA với BC.

Ta có: $E F = A D = A B .$

$\overset{⏜}{A E F} + \overset{⏜}{D A E} = 180 °$ mà $\overset{⏜}{B A C} + \overset{⏜}{D A E} = 180 °$ nên

$\overset{⏜}{A E F} = \overset{⏜}{B A C} . Δ A E F = Δ C A B (g . c . g) \Rightarrow \overset{⏜}{A_{1}} = \overset{⏜}{C_{1}} .$

Ta có: $\overset{⏜}{A_{1}} + \overset{⏜}{A_{2}} = 90 ° \Rightarrow \overset{⏜}{C_{1}} + \overset{⏜}{A_{2}} = 90 ° \Rightarrow \overset{⏜}{H} = 90 ° .$

Do đó: $M A ⊥ B C .$

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. (ảnh 1)

Ta đặt $\overset{⏜}{A D C} = α$ thì $\overset{⏜}{D A M} = 90 ° + α; \overset{⏜}{N C D} = 90 ° + α .$

$Δ D A M$ và $Δ N C D$ có:

$A M = C D (= A B); \overset{⏜}{D A M} = \overset{⏜}{N C D} (= 90 ° + α); A D = C N (= B C) .$

Do đó $Δ D A M = Δ N C D (c . g . c)$

$\Rightarrow D M = D N$ (1)

và $\overset{⏜}{D M A} = \overset{⏜}{N D C} .$

Kéo dài MA cắt CD tại H. Ta có:

$M A ⊥ A B \Rightarrow M H ⊥ C D .$

Xét $Δ M D H$ có $\overset{⏜}{D M A} + \overset{⏜}{A D M} + α = 90 °$

$\Rightarrow \overset{⏜}{N D C} + \overset{⏜}{A D M} + α = 90 °$

Hay $\overset{⏜}{M D N} = 90 °$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $Δ D M N$ vuông cân tại D

Câu 3

Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) . Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B và tam giác ADN cân tại D sao cho $\overset{⏜}{A B M} = \overset{⏜}{A D N} .$

a) Chứng minh rằng CM = CN

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có đường chéo BD // PQ và BD // PQ. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các đỉnh A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng: AA' + CC' = BB' + DD'

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn 32HA+HB+HC.

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc với nhau.

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.

Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) . Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B và tam giác ADN cân tại D sao cho ABM⏜=ADN⏜. a) Chứng minh rằng CM = CN

Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có đường chéo BD // PQ và BD // PQ. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một điểm cố định.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình thang cân.

Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các đỉnh A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng: AA' + CC' = BB' + DD'

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn $\frac{3}{2} (H A + H B + H C)$ .

Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) . Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B và tam giác ADN cân tại D sao cho $\overset{⏜}{A B M} = \overset{⏜}{A D N} .$

a) Chứng minh rằng CM = CN