Cho $△$ABC cân tại B có đường cao BE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = EB. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của AK và BN.

Ta có $\widehat{CBE}=\widehat{CAD}$( vì cùng phụ với $\widehat{ACB}$) $\Rightarrow \frac{1}{2}\widehat{CBE}=\frac{1}{2}\widehat{CAD}$

$\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{DAO}=\widehat{CBO}=\widehat{EBO}$

Ta có $△$ABD vuông tại D nên $\widehat{DAB}+\widehat{DBA}={90}^0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{DAB}+\widehat{IBA}+\widehat{IBO}+\widehat{OBD}={90}^0 \\ \Rightarrow \widehat{DAB}+\widehat{IBA}+\widehat{IBO}+\widehat{OAD}={90}^0 \left(1\right) \\ \Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{OAB}={90}^0 \end{gathered}$$

Suy ra $△$ABO vuông tại O $\Rightarrow AK\perp BN$ tại O.

$△$AMN có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$AMN cân tại A

Do đó AO là đường trung trực của đoạn thẳng MN $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IM=IN\\ KM=KN\end{array}\right.$(2)

và O là trung điểm của MN      (3)

$△$BIK có BO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$BIK cân tại B

Do đó BO là đường trung trực của đoạn thẳng IK => IM = KM    (4)

và O là trung điểm của IK         (5)

Từ (2) và (4) suy ra tứ giác MINK có IM = KM = KN = IN

Do đó tứ giác MINK là hình thoi.

$\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{DAO}=\widehat{CBO}=\widehat{EBO}$