Cho hình thoi ABCD . Trên các cạnh AB, BC, CD, DA  lấy theo thứ tự M, N, P, Q  sao cho AM = CN = CP = QA. Với O  là giao điểm 2 đường chéo hình thoi ABCD .

a) Chứng minh 3 điểm M, O, P  thẳng hàng.

a) Hình thoi có 2 đừờng chéo vuông góc với nhau nên góc $\widehat{BOC}={90}^{\circ }$    (1)

BK // AC và CK // BD => OBKC là hình bình hành    (2)

Từ (1)  và (2)  suy ra OBKC  là hình chữ nhật.

Gọi H  là chân đường cao kẻ từ A  đến cạnh CD .

Từ giả thiết ta có: $AH\perp CD,CH=HD$ .

Suy ra AH là đường trung trục của đoạn CD  nên AC = CD   (1)

Do ABCD  là hình thoi nên AD = CD (2)

Từ (1)  và (2)  suy ra AD = CD = AC  nên tam giác ACD  là tam giác đều, do đó $\widehat{D}={60}^{\circ }$ .

Ta lại có AB // CD  (Vì ABCD là hình thoi) góc A  và góc D  là hai góc trong cùng phía

Nên chúng bù nhau hay: $\widehat{A}={180}^{\circ }-\widehat{D}={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được: $\widehat{B}=\widehat{D}={60}^{\circ },\widehat{A}=\widehat{C}={120}^{\circ }$