Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}$ và $f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Giá trị $f\left( 1 \right)$ bằng

Hướng dẫn giải

Từ $f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}$ (1), suy ra $f'\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in \left[ {1;2} \right]$.

Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm không giảm trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ nên $f\left( x \right) \le f\left( 2 \right) < 0$, $\forall x \in \left[ {1;2} \right]$.

Chia 2 vế hệ thức (1) cho ${\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}$ ta được $\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = x,\forall x \in \left[ {1;2} \right].$ (2)

Lấy tích phân 2 vế trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ hệ thức (2), ta được

$\int\limits_1^2 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx = \int\limits_1^2 {xdx \Leftrightarrow } \left[ {\frac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}}} \right]\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = \left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{f\left( 1 \right)}} - \frac{1}{{f\left( 2 \right)}} = \frac{3}{2}.}$

Do $f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}$ nên suy ra $f\left( 1 \right) = - \frac{2}{3}.$

Chọn C.