Câu hỏi:
03/01/2023 5,416
Biết \(\int\limits_1^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}dx} = m{e^{\frac{p}{q}}} - n,\) trong đó \(m,n,p,q\) là các số nguyên dương và \(\frac{p}{q}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(T = m + n + p + q\) là
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
70 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Tích phân có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có
\[I = \int\limits_1^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}dx = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right){e^{x - \frac{1}{x}}}} dx = } \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} {e^{x - \frac{1}{x}}}dx + \int\limits_1^2 {2x{e^{x - \frac{1}{x}}}} dx.\]
Xét \({I_1} = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} {e^{x - \frac{1}{x}}}dx = \int\limits_1^2 {{x^2}.{e^{x - \frac{1}{x}}}} .\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}dx = \int\limits_1^2 {{x^2}.{e^{x - \frac{1}{x}}}} d\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = \int\limits_1^2 {{x^2}d\left( {{e^{x - \frac{1}{x}}}} \right)} \)
\( = {x^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_1^2 {{e^{x - \frac{1}{x}}}} d\left( {{x^2}} \right) = {x^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_1^2 {2x{e^{x - \frac{1}{x}}}} dx\)
\( \Rightarrow {I_1} + \int\limits_1^2 {2x{e^{x - \frac{1}{x}}}} dx = {x^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \Rightarrow I = {x^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 4{e^{\frac{3}{2}}} - 1\)
\( \Rightarrow m = 4,n = 1,p = 3,q = 2.\)
Khi đó \(T = m + n + p + q = 4 + 1 + 3 + 2 = 10.\)
Chọn B.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( 2 \right) = 16\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4.\) Tích phân \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \) bằng
Xem đáp án »
03/01/2023
11,369
Câu 2:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng
Xem đáp án »
03/01/2023
5,303
Câu 3:
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5;} \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 7} \).
Giá trị của \(A = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} \) là
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5;} \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 7} \).
Giá trị của \(A = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} \) là
Xem đáp án »
03/01/2023
4,655
Câu 4:
Cho \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx = a.{e^2} + b} \) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Giá trị của tổng \(a + b\) là
Xem đáp án »
03/01/2023
3,116
Câu 5:
Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\) \(\left( {m/s} \right)\), có gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \frac{3}{{2t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\)
Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là
Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\) \(\left( {m/s} \right)\), có gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \frac{3}{{2t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\)
Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là
Xem đáp án »
04/01/2023
2,701
Câu 6:
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx = 5} \) . Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \) là bao nhiêu?
Xem đáp án »
03/01/2023
2,606
Bình luận
Chí Hảo Lê
19:24 - 12/03/2024
Tưởng n ra - 1 chứ
về câu hỏi!