Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x$. Đặt $f^k\left(x\right)=f\left(f^{k-1}\left(x\right)\right)$ (với k là số tự nhiên lớn hơn 1). Tính số nghiệm của phương trình $f^8\left(x\right)=0$

Đáp án A

Ta có đồ thị hàm số $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x$ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có thể suy ra số nghiệm của phương trình f(x) = m như sau:

$\left[\begin{array}{c}m<0\\ m>4\end{array}\right.\Rightarrow$ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

$\left[\begin{array}{c}m=0\\ m=4\end{array}\Rightarrow \right.$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$0<m<4\Rightarrow$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Xét phương trình

$$\begin{gathered} f^2\left(x\right)=0\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-6{\left(f\left(x\right)\right)}^2+9f\left(x\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta thấy phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, phương trình f(x) = 3 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình $f^2\left(x\right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt

Xét phương trình 

$$\begin{gathered} f^3\left(x\right)=0\iff f\left(f^2\left(x\right)\right)=0 \\ \iff {\left(f^2\left(x\right)\right)}^3-6{\left(f^2\left(x\right)\right)}^2+9f^2\left(x\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}{f}^2\left(x\right)=0\\ f^2\left(x\right)=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Phương trình $f^2\left(x\right)=0$ có 2 + 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình

$$\begin{gathered} f^2\left(x\right)=3\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-6{\left(f\left(x\right)\right)}^2+9f\left(x\right)=3 \\ \iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)\approx 3,88\in \left(0;4\right)\\ f\left(x\right)\approx 1,65\in \left(0;4\right)\\ f\left(x\right)\approx 0,46\in \left(0;4\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ phương trình $f^2\left(x\right)=3$ có 9 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình $f^3\left(x\right)=0$ có $2+3+3^2$ nghiệm phân biệt (cmt)

Phương trình

$$\begin{gathered} f^3\left(x\right)=3\iff {\left(f^2\left(x\right)\right)}^3-6{\left(f^2\left(x\right)\right)}^2+9f^2\left(x\right)=3 \\ \iff \left[\begin{array}{c}{f}^2\left(x\right)\approx 3,88\in \left(0;4\right)\\ f^2\left(x\right)\approx 1,65\in \left(0;4\right)\\ f^2\left(x\right)\approx 0,46\in \left(0;4\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta thấy mỗi phương trình $f^2\left(x\right)=m$ ở trên có 9 nghiệm phân biệt nên 3 phương trình sẽ có $3.9=3^3$ nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình $f^4\left(x\right)=0$ có $2+3+3^2+3^3$ nghiệm.

Cứ như vậy ta tính được phương trình $f^8\left(x\right)=0$ có $2+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^7=2+\frac{3\left(1-3^7\right)}{1-3}=3281$ nghiệm.