Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là cao nhất?

Lời giải:

Gọi số lít nước A và B cần pha chế lần lượt là x lít và y lít (x ≥ 0; y ≥ 0).

Do 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu nên x lít nước A cần 45x g đường, x lít nước và 0,5x g hương liệu.

Do 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu nên y lít nước A cần 15y g đường, y lít nước và 2y g hương liệu.

Do có tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường nên 45x + 15y ≤ 315; x + y ≤ 9 và 0,5x + 2y ≤ 12.

Khi đó ta có hệ bất phương trình

Với số điểm thưởng đội chơi nhận được là F(x; y) = 60x + 80y (điểm).

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₁ và thay bảo biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₂ và thay bảo biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₃: 0,5x + 2y = 12 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 6) và (4; 5).

Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₃ và thay bảo biểu thức 0,5x + 2y ta được 0,5 . 1 + 2 . 1 = 2,5 < 12.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 0,5x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₄: x + y = 9 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (3; 6) và (4; 5).

Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₄ và thay bảo biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 9.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 9 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₅: 45x + 15y = 315 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (5; 6) và (7; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₄ và thay bảo biểu thức 45x + 15y ta được 45 . 1 + 15. 1 = 60 < 315.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 45x + 15y ≤ 315 là nửa mặt phẳng bờ d₅ chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDO với A(0; 6), B(4; 5), C(6; 3), D(7; 0) và O(0; 0).

Ta có F(0; 6) = 60 . 0 + 80 . 6 = 480;

F(4; 5) = 60 . 4 + 80 . 5 = 640;

F(6; 3) = 60 . 6 + 80 . 3 = 600;

F(7; 0) = 60 . 7 + 80 . 0 = 420;

F(0; 0) = 0.

Giá trị lớn nhất là F(4; 5) = 640.

Vậy cần pha 4 lít nước loại A và 5 lít nước loại B để số điểm thưởng nhận được là lớn nhất.