a) Ta có: $2^7+3^{11}+5^{13}+7^{17}+{11}^{19}$

Theo quy ước ta có:

$2^7$ có chữ số tận cùng là 8

$3^{11}$ có chữ số tận cùng là 7

$5^{13}$ luôn có chữ số tận cùng là 5

$7^{17}$ có chữ số tận cùng là 7

${11}^{19}$ luôn có chữ số tận cùng là 1

Ta có: $2^7+3^{11}+5^{13}+7^{17}+{11}^{19}$ có chữ số tận cùng là 8

Suy ra $2^7+3^{11}+5^{13}+7^{17}+{11}^{19}$ chia hết cho 2.

Vậy, đây là hợp số.

b) Ta có :$1+{21}^{23}+{23}^{124}+{25}^{125}$

${21}^{23}$ có chữ số tận cùng là 1

${23}^{124}$ có chữ số tận cùng là 1 ( các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì có chữ số tận cùng là 1. Số đã cho có số mũ là 124 = 4.31)

${25}^{125}$ luôn có chữ số tận cùng là 5

Nên $1+{21}^{23}+{23}^{124}+{25}^{125}$ có chữ số tận cùng là 8

suy ra $1+{21}^{23}+{23}^{124}+{25}^{125}$ chia hết cho 2.

vậy, đây là hợp số.

Do a, a + k, a + 2k đều là nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số lẻ và không chia hết cho 3.

• Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k ⋮ 2. (1)

• Vì a, a + k, a + 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho 3 ít nhất hai số có cùng số dư, khi đó:

   + Nếu a và a + k có cùng số dư, thì suy ra: (a+k) - a = k ⋮ 3

   + Nếu a và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra:

( a + 2k ) - a = 2k 3 nhưng (2,3) = 1 nên k 3

Vậy, ta luôn có k chia hết cho 3 (2)

Từ (1),(2) và do (2,3)=1 ta suy ra k ⋮ 6, đpcm.

Nhận xét: Trong lời giải trên, ta đã định hướng được rằng để chứng minh k ⋮ 6 thì cần chứng minh k ⋮ 2 và k ⋮ 3 và ở đó:

• Việc chứng minh k ⋮ 2 được đánh giá thông qua nhận định a, a + k,a + 2k đều là nguyên tố lẻ hơn kém nhau k đơn vị.

• Việc chứng minh k ⋮ 3 được đánh giá thông qua nhận định “ba số lẻ không chia hết cho 3 thì có ít nhất hai số có cùng số dư” và như vậy hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 3.

Ta thấy trong 25 số nguyên tố có 1 số chẵn còn lại là 24 số lẻ. Tổng của 24 số lẻ là một số chẵn nên tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.

Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2