Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì DIHK có hai tia phân giác của góc H và góc K cắt nhau tại O nên IO là tia phân giác của góc HIK.

Do đó \(\widehat {HIO} = \widehat {KIO} = \frac{1}{2}\widehat {HIK}\).

Vì KO là tia phân giác của góc HKI nên \(\widehat {HKO} = \widehat {IKO} = \frac{1}{2}\widehat {HKI}\).

Xét DOIK có \(\widehat {IKO} + \widehat {KIO} + \widehat {KOI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Nên \(\widehat {KOI} = 180^\circ - \left( {\widehat {IKO} + \widehat {KIO}} \right)\)

Suy ra \(\widehat {KOI} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat {HKI} + \widehat {KIH}} \right)\)

Lại có \(\widehat {HKI} + \widehat {KIH} = 180^\circ - \widehat {IHK}\) (tổng ba góc trong tam giác HIK)

Nên \(\widehat {KOI} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {IHK}} \right) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {IHK} = 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {IHK}\)

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DMNP có ba đường phân giác MA, NB, PC cắt nhau tại I nên I cách đều ba cạnh của tam giác.

Điểm I không phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên không cách đều ba đỉnh. Do đó phương án B, D là sai.

Vì MI là tia phân giác của góc NMP nên \(\widehat {NMI} = \widehat {PMI} = \frac{1}{2}\widehat {PMN}\).

Vì NI là tia phân giác của góc MNP nên \(\widehat {MNI} = \widehat {PNI} = \frac{1}{2}\widehat {MNP}\).

Vì PI là đường phân giác của góc MPN nên \(\widehat {NPI} = \widehat {MPI} = \frac{1}{2}\widehat {MPN}\).

Xét DMIP có \(\widehat {MIP} + \widehat {MPI} + \widehat {PMI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Nên \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPI} + \widehat {PMI}} \right)\)

Suy ra \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat {MPN} + \widehat {PMN}} \right)\).

Xét DMNP có \(\widehat {MNP} + \widehat {MPN} + \widehat {PMN} = 180^\circ \)(tổng ba góc trong một tam giác)

Nên \(\widehat {MPN} + \widehat {PMN} = 180^\circ - \widehat {MNP}\).

Do đó \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {MNP}} \right)\)

Hay \(\widehat {MIP} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP} = 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP}\).

Ta có \(\widehat {MIP} + \widehat {PIA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {PIA} = 180^\circ - \widehat {MIP} = 180^\circ - \left( {90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP}} \right) = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {MNP}\) (1)

Vì DINH vuông tại H nên \(\widehat {HIN} + \widehat {HNI} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {HIN} = 90^\circ - \widehat {HNI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {MNP}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {NIH} = \widehat {PIA}\).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Xét DBHI và DBKI có:

\(\widehat {BHI} = \widehat {BKI} = 90^\circ \),

BI là cạnh chung;

\(\widehat {HBI} = \widehat {KBI}\) (do BI là tia phân giác của góc ABC),

Do đó DBHI = DBKI (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BH = BK = 10 cm (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự có DIJC = DIKC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra JC = KC = 15 cm.

Vì các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do đó AI là tia phân giác của góc A nên \(\widehat {HAI} = \widehat {JAI} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ .\)

Tam giác AHI vuông tại H có \(\widehat {HAI} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân tại H.

Do đó IH = AH.

Chứng minh tương tự ta cũng có tam giác AJI vuông cân tại J nên AJ = IJ.

Mà I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác, hay IH = IK = IJ = 5 cm.

Suy ra AH = AJ = IH = IK = IJ = 5 cm.

Ta có AB = AH + BH = 5 + 10 = 15 (cm);

          AC = AJ + JC = 5 + 15 = 20 (cm).

Diện tích tam giác ABC là:

\(\frac{1}{2}\).15.20 = 150 (cm²).

Vậy ta chọn phương án C.