Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0. Coi f(x) = b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 là một tam thức bậc hai ẩn x dạng f(x) = Ax2 + Bx + C. Xét phương trình bậc hai b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 = 0 có: A = b2 > 0 (vì b là độ dài cạnh của tam giác) ∆ = B2 – 4AC = [– (b2 + c2 – a2)]2 – 4.b2.c2 = (b2 + c2 – a2)2 – (2bc)2 = (b2 + c2 – a2 – 2bc)(b2 + c2 – a2 + 2bc) = [(b – c)2 – a2][(b + c)2 – a2] = (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a) Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có: a + b – c > 0 b + c – a > 0 b + c + a > 0 b – c – a = b – (c + a) < 0 Do đó ∆ < 0. Vậy b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 > 0, ∀x ∈ ℝ (điều cần phải chứng minh).

Câu hỏi:

13/07/2024 4,987

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, ∀x ∈ ℝ.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0.

Coi f(x) = b²x² – (b² + c² – a²)x + c² là một tam thức bậc hai ẩn x dạng f(x) = Ax² + Bx + C.

Xét phương trình bậc hai b²x² – (b² + c² – a²)x + c² = 0 có:

A = b² > 0 (vì b là độ dài cạnh của tam giác)

∆ = B² – 4AC = [– (b² + c² – a²)]² – 4.b².c²

= (b² + c² – a²)² – (2bc)²

= (b² + c² – a²– 2bc)(b² + c² – a²+ 2bc)

= [(b – c)² – a²][(b + c)² – a²]

= (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)

Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:

a + b – c > 0

b + c – a > 0

b + c + a > 0

b – c – a = b – (c + a) < 0

Do đó ∆ < 0.

Vậy b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, ∀x ∈ ℝ (điều cần phải chứng minh).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0

a) có hai nghiệm phân biệt;

Xem đáp án

Lời giải

Xét x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có:

a = 1 > 0

∆’ = [–(m – 1)]² – 1.(4m² – m) = m² – 2m + 1 – 4m² + m = –3m² – m + 1 .

Để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆’ > 0

⇔ –3m² – m + 1 > 0

Xét phương trình bậc hai –3m² – m + 1 = 0 có a = –3 < 0 và ∆_ma = (–1)² – 4.(–3).1 = 13 > 0

Do đó, phương trình –3m² – m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

$m_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6}; m_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{13}}{6}$

Do đó, –3m² – m + 1 > 0 $\Leftrightarrow \frac{- 1 - \sqrt{13}}{6} < m < \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6}$

Vậy khi $\frac{- 1 - \sqrt{13}}{6} < m < \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6}$ thì phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Câu 2

Tìm các giá trị của tham số m để

a) –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ;

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương trình –x² + (m + 1)x – 2m + 1 = 0 có:

a = –1 < 0

∆ = (m + 1)² – 4.(–1).(–2m + 1) = m² + 2m + 1 – 8m + 4 = m² – 6m + 5

Để –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ Δ ≤ 0

⇔ m² – 6m + 5 ≤ 0

Xét phương trình m² – 6m + 5 = 0 có a = 1 > 0 và Δ_m = (–6)² – 4.1.5 = 16 > 0

Do đó, phương trình m² – 6m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

m₁ = 1; m₂ = 5

Do đó, m² – 6m + 5 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 5

Vậy khi 1 ≤ m ≤ 5 thì –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ.

Câu 3

Một công ty đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là x nghìn đồng thì doanh thu R (tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là R(x) = –560x² + 50 000x.

a) Theo mô hình doanh thu này, thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng 0 (tức là sẽ không có người mua)?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = –x² + 6x + 7;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

b) x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

c) x⁴ – 3x² + 2 ≤ 0;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Bình luận

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x2 – 2(m – 1)x + 4m2 – m = 0 a) có hai nghiệm phân biệt;

Tìm các giá trị của tham số m để a) –x2 + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ;

Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) f(x) = –x2 + 6x + 7;

b) x2 – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

c) x4 – 3x2 + 2 ≤ 0;

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, ∀x ∈ ℝ.

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0

a) có hai nghiệm phân biệt;

Tìm các giá trị của tham số m để

a) –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ;

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = –x² + 6x + 7;

b) x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

c) x⁴ – 3x² + 2 ≤ 0;