Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x,khi\cos x\ge 0\\ 1+\cos x,khi\cos x<0\end{array}\right.$ Hàm số f có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng $\left(0;2019\right)$ ?

Xét hàm số f(x)  trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$, khi đó $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x,khix\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]\\ 1+\cos x,khix\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)\end{array}\right.$

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0=f\left(0\right);\underset{x\to 2{\pi }^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0=f\left(2\pi \right)$

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right);\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ và $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$

Ta xét tại $x=\frac{\pi }{2}$

$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\left(1+\cos x\right)=1;\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\sin x=1;f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

Như vậy $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f(x=f\left(\frac{\pi }{2}\right)$nên hàm số f(x)  liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{2}$

Ta xét tại $x=\frac{3\pi }{2}$

$\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\sin x=-1;\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(1+\cos x\right)=1$

Vì $\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ nên hàm số f(x)  gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$

Do đó, trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$.

Do tính chất tuần hoàn của hàm số $y=\cos x$ và $y=\sin x$ suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ta có $x\in \left(0;2018\right)\iff 0<\frac{3\pi }{2}+k2\pi <2018\iff -\frac{3}{4}<k<\frac{1009}{\pi }-\frac{3}{4}\approx 320,42$

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{0,1,2,\mathrm{...},320\right\}$. Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng $\left(0;2018\right)$