Tìm giá trị của tham số m để phương trình $\left(m^2-5x+6\right){\left(x+5\right)}^{2019}\left(x^{2020}+2x\right)+2x-1=0$  có nghiệm 

Bổ đề: Phương trình đa thức bậc lẻ $a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0=0$ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của $a_i,i=\overline{2n+1,0}$

Chứng minh:

+ Xét hàm số $f\left(x\right)=a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0$ đây là hàm đa thức, xác định trên R nên liên tục trên R

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0\right]=+\infty$ nên tồn tại $x_1\in ℝ$ sao cho $f\left(x_1\right)>0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0\right]=-\infty$ nên tồn tại $x_2\in ℝ$ sao cho $f\left(x_2\right)<0$

Do đó tồn tại $x_0\in \left(x_1;x_2\right)$ sao cho $f\left(x_0\right)=0$

Vậy phương trình đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của $a_i,i=\overline{2n+1,0}$

Áp dụng:

Đặt $f\left(x\right)=\left(m^2-5x+6\right){\left(x+5\right)}^{2019}\left(x^{2020}+2x\right)+2x-1$ Hàm số f(x)  liên tục trên R

+ Xét $m^2-5m+6\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=3\end{array}\right.$. Khi đó phương trình trở thành $2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$

+ Xét $m^2-5m+6\ne 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m\ne 3\end{array}\right.$.

Hàm f(x)  có bậc cao nhất là $2019+2020=4039$ là đa thức bậc lẻ nên f(x)=0  có ít nhất một nghiệm với $\forall m\in ℝ$