Cho hình thoi ABCD có $\hat{B} > 90^{\circ}$ . Kẻ $B E ⊥ A D$ tại E, $B F ⊥ D C$ tại F, $D G ⊥ A B$ tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD.

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: AB // CD (vì ABCD là hình thoi)

mà $B F ⊥ C D$

$\Rightarrow B F ⊥ A B \Rightarrow \hat{A B F} = 90 ° \Rightarrow \hat{M B N} = 90^{\circ} - \hat{A B E}$

Mà $\hat{A} = 90^{\circ} - \hat{A B E}$ (vì $△$ ABE vuông tại E)

$\Rightarrow \hat{A} = \hat{M B N}$

Ta có: $\{\begin{cases} D G ⊥ A B \\ B F ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B F / / D G$ hay BN // DM

Chứng minh tương tự, ta có: $\{\begin{cases} D H ⊥ A D \\ B E ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow B E / / D H$ hay BM // DN

=> Tứ giác BMDN là hình bình hành

=> $\hat{M B N} = \hat{M D N} = \hat{A}$

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} = 180^{\circ} - \hat{A} = 180^{\circ} - \hat{M B N}$ (hai góc trong cùng phía)

$\hat{M B N} + \hat{B N D} = 180^{\circ} \to \hat{B N D} = 180^{\circ} - \hat{M B N} \hat{B N D} = \hat{B M D} = \hat{B}$

Vậy các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của tứ giác ABCD

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành => $\{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

Tứ giác AMCN có $\{\begin{cases} A M = C N \\ A M / / C N \end{cases} \Rightarrow A M C N$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\{\begin{cases} A M = D N \\ A M / / D N \end{cases} \Rightarrow A M N D$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $A D ⊥ A C \Rightarrow M N ⊥ A C$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì M, N là trung điểm của AB, BC => MN là đường trung bình của

△

ABC

$\{\begin{cases} M N / / A C \\ M N = \frac{1}{2} A C \end{cases}$ (1)

Vì P, Q là trung điểm của CD, DA => PQlà đường trung bình của tam giác ADC

$\{\begin{cases} P Q / / A C \\ P Q = \frac{1}{2} A C \end{cases}$ (2)

Từ (1) và (2) => MNPQ là hình bình hành..

Câu 3