Câu hỏi:

19/08/2025 2,389

Cho hình thoi ABCD có $\hat{B} > 90^{\circ}$ . Kẻ $B E ⊥ A D$ tại E, $B F ⊥ D C$ tại F, $D G ⊥ A B$ tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 14: Hình thoi có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình thoi ABCD có góc B > 90 độ. Kẻ BE vuông AD tại E, BF vuông DC tại F, DG vuông AB tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. (ảnh 1)

Ta có: AB // CD (vì ABCD là hình thoi)

mà $B F ⊥ C D$

$\Rightarrow B F ⊥ A B \Rightarrow \hat{A B F} = 90 ° \Rightarrow \hat{M B N} = 90^{\circ} - \hat{A B E}$

Mà $\hat{A} = 90^{\circ} - \hat{A B E}$ (vì $△$ ABE vuông tại E)

$\Rightarrow \hat{A} = \hat{M B N}$

Ta có: $\{\begin{cases} D G ⊥ A B \\ B F ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B F / / D G$ hay BN // DM

Chứng minh tương tự, ta có: $\{\begin{cases} D H ⊥ A D \\ B E ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow B E / / D H$ hay BM // DN

=> Tứ giác BMDN là hình bình hành

=> $\hat{M B N} = \hat{M D N} = \hat{A}$

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} = 180^{\circ} - \hat{A} = 180^{\circ} - \hat{M B N}$ (hai góc trong cùng phía)

$\hat{M B N} + \hat{B N D} = 180^{\circ} \to \hat{B N D} = 180^{\circ} - \hat{M B N} \hat{B N D} = \hat{B M D} = \hat{B}$

Vậy các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của tứ giác ABCD

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD có $A D ⊥ A C$ . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD có AD vuông AC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành => $\{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

Tứ giác AMCN có $\{\begin{cases} A M = C N \\ A M / / C N \end{cases} \Rightarrow A M C N$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\{\begin{cases} A M = D N \\ A M / / D N \end{cases} \Rightarrow A M N D$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $A D ⊥ A C \Rightarrow M N ⊥ A C$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Câu 2

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của $\hat{D A C}$ cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K.Tia phân giác của $\hat{E B C}$ cắt AD, AC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh: MINK là hình thoi.

Xem đáp án

Lời giải

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AK và BN.

Ta có $\hat{C B E} = \hat{C A D}$ ( vì cùng phụ với $\hat{A C B}$ ) $\Rightarrow \frac{1}{2} \hat{C B E} = \frac{1}{2} \hat{C A D}$

$\Rightarrow \hat{C A O} = \hat{D A O} = \hat{C B O} = \hat{E B O}$

Ta có $△$ ABD vuông tại D nên $\hat{D A B} + \hat{D B A} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{D A B} + \hat{I B A} + \hat{I B O} + \hat{O B D} = 90^{0} \Rightarrow \hat{D A B} + \hat{I B A} + \hat{I B O} + \hat{O A D} = 90^{0} (1) \Rightarrow \hat{A B O} + \hat{O A B} = 90^{0}$

Suy ra $△$ ABO vuông tại O $\Rightarrow A K ⊥ B N$ tại O.

$△$ AMN có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$ AMN cân tại A

Do đó AO là đường trung trực của đoạn thẳng MN $\Rightarrow \{\begin{cases} I M = I N \\ K M = K N \end{cases}$ (2)

và O là trung điểm của MN (3)

$△$ BIK có BO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$ BIK cân tại B

Do đó BO là đường trung trực của đoạn thẳng IK => IM = KM (4)

và O là trung điểm của IK (5)

Từ (2) và (4) suy ra tứ giác MINK có IM = KM = KN = IN

Do đó tứ giác MINK là hình thoi.

$\Rightarrow \hat{C A O} = \hat{D A O} = \hat{C B O} = \hat{E B O}$

Câu 3