Cho hình thoi ABCD có $\widehat{B}>{90}^{\circ }$. Kẻ  $BE\perp AD$ tại E, $BF\perp DC$ tại F, $DG\perp AB$ tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD.

Vì ABCD  là hình bình hành => $\left\{\begin{array}{l}AB//CD\\ AD//BC\end{array}\right.$

Tứ giác AMCN có $\left\{\begin{array}{l}AM=CN\\ AM//CN\end{array}\right.\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\left\{\begin{array}{l}AM=DN\\ AM//DN\end{array}\right.\Rightarrow AMND$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $AD\perp AC\Rightarrow MN\perp AC$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Cách 1: Vì D, Elà trung điểm của các cạnh BC, AB => DE là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DE=\frac{1}{2}AC$  (1)

Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC, => DF là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DF=\frac{1}{2}AB$ (2)

Vì E, F là trung điểm của các cạnh  AB, AC => $AE=\frac{1}{2}AB,AF=\frac{1}{2}AC$ (3)

Tam giác ABC cân tại A => AB = AC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) => AE = ED = DF = FA.

Tứ giác AEDFcó AE = ED = DF = FA => AEDF là hình thoi.

Cách 2: Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC => DF là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DF//AB$ và $DF=\frac{1}{2}AB$

Mà AB = AE và A, E, B thẳng hàng

Tứ giác  AEDF có $\left\{\begin{array}{l}DF//AE\\ DF=AE\end{array}\right.\Rightarrow EADF$ là hình bình hành.

Hình bình hành AEDF có $AE=AF\left(=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\right)\Rightarrow AEDF$ là hình thoi.