Câu hỏi:

19/08/2025 5,089

Cho $△$ ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của $\hat{B A C}$ cắt BC tại I. Chứng minh: $A I ⊥ M N$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 14: Hình thoi có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của BAC cắt BC tại I. (ảnh 1)

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD.

$△$ ABD: N, Q là trung điểm của BD, AD => NQ là đường trung bình của $△$ ABD

=> $\{\begin{cases} N Q / / A B \\ N Q = \frac{1}{2} A B \end{cases}$ (1)

$△$ ABC: M, P là trung điểm của AC, BC => MP là đường trung bình của $△$ ABC

=> $\{\begin{cases} M P / / A B \\ M P = \frac{1}{2} A B \end{cases}$ (2)

Từ (1), (2) => MQNP là hình bình hành.

$△$ BCD: N, P là trung điểm của BD, BC => NP là đường trung bình của $△$ ABC

=> $N P = \frac{1}{2} . C D$

Vì CD = AB => NP = NQ.

Hình bình hành MQNP có NP = NQ => MQNP là hình thoi

=> $P Q ⊥ M N$ và QP là phân giác của $\hat{N Q M}$

QP là phân giác của $\hat{N Q M} \Rightarrow \hat{N Q P} = \frac{1}{2} \hat{N Q M}$ (3)

Ta có: AI là phân giác của $\hat{B A C} \Rightarrow \hat{B A I} = \frac{1}{2} \hat{B A C}$ (4)

Vì NQ // AB => $\hat{N Q M} = \hat{B A C}$ (5)

Từ (3), (4), (5) => $\hat{B A I} = \hat{N Q P}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

=> AI // PQ, mà $P Q ⊥ M N$ => AI // MN

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD có $A D ⊥ A C$ . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD có AD vuông AC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành => $\{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

Tứ giác AMCN có $\{\begin{cases} A M = C N \\ A M / / C N \end{cases} \Rightarrow A M C N$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\{\begin{cases} A M = D N \\ A M / / D N \end{cases} \Rightarrow A M N D$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $A D ⊥ A C \Rightarrow M N ⊥ A C$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Câu 2

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi. (ảnh 1)

Cách 1: Vì D, Elà trung điểm của các cạnh BC, AB => DE là đường trung bình của $Δ A B C$

=> $D E = \frac{1}{2} A C$ (1)

Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC, => DF là đường trung bình của $Δ A B C$

=> $D F = \frac{1}{2} A B$ (2)

Vì E, F là trung điểm của các cạnh AB, AC => $A E = \frac{1}{2} A B, A F = \frac{1}{2} A C$ (3)

Tam giác ABC cân tại A => AB = AC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) => AE = ED = DF = FA.

Tứ giác AEDFcó AE = ED = DF = FA => AEDF là hình thoi.

Cách 2: Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC => DF là đường trung bình của $Δ A B C$

=> $D F / / A B$ và $D F = \frac{1}{2} A B$

Mà AB = AE và A, E, B thẳng hàng

Tứ giác AEDF có $\{\begin{cases} D F / / A E \\ D F = A E \end{cases} \Rightarrow E A D F$ là hình bình hành.

Hình bình hành AEDF có $A E = A F (= \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A C) \Rightarrow A E D F$ là hình thoi.

Câu 3