Cho $△$ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt BC tại I. Chứng minh: $AI\perp MN$.

Vì ABCD  là hình bình hành => $\left\{\begin{array}{l}AB//CD\\ AD//BC\end{array}\right.$

Tứ giác AMCN có $\left\{\begin{array}{l}AM=CN\\ AM//CN\end{array}\right.\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\left\{\begin{array}{l}AM=DN\\ AM//DN\end{array}\right.\Rightarrow AMND$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $AD\perp AC\Rightarrow MN\perp AC$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Cách 1: Vì D, Elà trung điểm của các cạnh BC, AB => DE là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DE=\frac{1}{2}AC$  (1)

Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC, => DF là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DF=\frac{1}{2}AB$ (2)

Vì E, F là trung điểm của các cạnh  AB, AC => $AE=\frac{1}{2}AB,AF=\frac{1}{2}AC$ (3)

Tam giác ABC cân tại A => AB = AC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) => AE = ED = DF = FA.

Tứ giác AEDFcó AE = ED = DF = FA => AEDF là hình thoi.

Cách 2: Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC => DF là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DF//AB$ và $DF=\frac{1}{2}AB$

Mà AB = AE và A, E, B thẳng hàng

Tứ giác  AEDF có $\left\{\begin{array}{l}DF//AE\\ DF=AE\end{array}\right.\Rightarrow EADF$ là hình bình hành.

Hình bình hành AEDF có $AE=AF\left(=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\right)\Rightarrow AEDF$ là hình thoi.