Cho hình bình hành ABCD có A^<90∘và AD = 2.AB . Kẻ CH⊥AB có A^<90∘ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: BAD^=2.AHM^

Vì ABCD là hình bình hành => AD=BC , AB=CD=12AD=12BC Vì M, N là trung điểm của AD, BC => MD=NC=12AD=12BC. Tứ giác DMNC có DM=CN=12ABDM // CN⇒DMNC là hình bình hành Hình bình hành DMNC có CD=DM=12AD⇒DMNC là hình thoi. Gọi F là giao điểm của MN và CE. DMNC là hình thoi => MN // CD. Hình thang ADCE AE // DC có MA=MDMN // CD⇒FC=FE Ta có: MF // AEAE⊥CE⇒MF⊥CE △MEC có MF là đường cao và là đường trung tuyến => △MEC cân tại M => MF là đường phân giác của EMC^⇒EMF^=CMF^ (1) DMNC là hình thoi => MC là phân giác của NMD^⇒CMF^=CMD^ (2) Từ (1) và (2) => EMF^=CMF^=CMD^=12NMD^ (3) Ta có: AEM^=EMF^ (vì AB // MN) (4) Ta có: BAD^=NMD^ (hai góc đồng vị) (5) Từ (3), (4), (5) => BAD^=2.AHM^

Câu hỏi:

19/08/2025 3,012

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{A} < 90^{\circ}$ và AD = 2.AB . Kẻ $C H ⊥ A B$ có $\hat{A} < 90^{\circ}$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: $\hat{B A D} = 2. \hat{A H M}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 14: Hình thoi có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình bình hành ABCD góc A < 90 độ có và AD = 2.AB . Kẻ CH vuông AB có góc A < 90 độ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành => $A D = B C$ , $A B = C D = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C$

Vì M, N là trung điểm của AD, BC => $M D = N C = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C$ .

Tứ giác DMNC có $\{\begin{cases} D M = C N (= \frac{1}{2} A B) \\ D M / / C N \end{cases} \Rightarrow D M N C$ là hình bình hành

Hình bình hành DMNC có $C D = D M (= \frac{1}{2} A D) \Rightarrow D M N C$ là hình thoi.

Gọi F là giao điểm của MN và CE.

DMNC là hình thoi => MN // CD.

Hình thang $A D C E (A E / / D C)$ có $\{\begin{cases} M A = M D \\ M N / / C D \end{cases} \Rightarrow F C = F E$

Ta có: $\{\begin{cases} M F / / A E \\ A E ⊥ C E \end{cases} \Rightarrow M F ⊥ C E$

$△$ MEC có MF là đường cao và là đường trung tuyến => $△$ MEC cân tại M

=> MF là đường phân giác của $\hat{E M C} \Rightarrow \hat{E M F} = \hat{C M F}$ (1)

DMNC là hình thoi => MC là phân giác của $\hat{N M D} \Rightarrow \hat{C M F} = \hat{C M D}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\hat{E M F} = \hat{C M F} = \hat{C M D} = \frac{1}{2} \hat{N M D}$ (3)

Ta có: $\hat{A E M} = \hat{E M F}$ (vì AB // MN) (4)

Ta có: $\hat{B A D} = \hat{N M D}$ (hai góc đồng vị) (5)

Từ (3), (4), (5) => $\hat{B A D} = 2. \hat{A H M}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD có $A D ⊥ A C$ . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD có AD vuông AC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành => $\{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

Tứ giác AMCN có $\{\begin{cases} A M = C N \\ A M / / C N \end{cases} \Rightarrow A M C N$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\{\begin{cases} A M = D N \\ A M / / D N \end{cases} \Rightarrow A M N D$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $A D ⊥ A C \Rightarrow M N ⊥ A C$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Câu 2

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của $\hat{D A C}$ cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K.Tia phân giác của $\hat{E B C}$ cắt AD, AC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh: MINK là hình thoi.

Xem đáp án

Lời giải

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AK và BN.

Ta có $\hat{C B E} = \hat{C A D}$ ( vì cùng phụ với $\hat{A C B}$ ) $\Rightarrow \frac{1}{2} \hat{C B E} = \frac{1}{2} \hat{C A D}$

$\Rightarrow \hat{C A O} = \hat{D A O} = \hat{C B O} = \hat{E B O}$

Ta có $△$ ABD vuông tại D nên $\hat{D A B} + \hat{D B A} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{D A B} + \hat{I B A} + \hat{I B O} + \hat{O B D} = 90^{0} \Rightarrow \hat{D A B} + \hat{I B A} + \hat{I B O} + \hat{O A D} = 90^{0} (1) \Rightarrow \hat{A B O} + \hat{O A B} = 90^{0}$

Suy ra $△$ ABO vuông tại O $\Rightarrow A K ⊥ B N$ tại O.

$△$ AMN có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$ AMN cân tại A

Do đó AO là đường trung trực của đoạn thẳng MN $\Rightarrow \{\begin{cases} I M = I N \\ K M = K N \end{cases}$ (2)

và O là trung điểm của MN (3)

$△$ BIK có BO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$ BIK cân tại B

Do đó BO là đường trung trực của đoạn thẳng IK => IM = KM (4)

và O là trung điểm của IK (5)

Từ (2) và (4) suy ra tứ giác MINK có IM = KM = KN = IN

Do đó tứ giác MINK là hình thoi.

$\Rightarrow \hat{C A O} = \hat{D A O} = \hat{C B O} = \hat{E B O}$

Câu 3