Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} ,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Biết \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = ae + b\sqrt 3  + c\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tổng \(T = a + b + 3c\) bằng

Hướng dẫn giải

Khi vật dừng lại thì \(v\left( t \right) = 160 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 16\)

Do đó \(S = \int\limits_0^{16} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt} \)

\( = \left( {160t - 5{t^2}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle16\atop\scriptstyle}} \right. = 1280\left( m \right)\).

Hướng dẫn giải

Từ \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) (1), suy ra \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {1;2} \right]\).

Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm không giảm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) nên \(f\left( x \right) \le f\left( 2 \right) < 0\), \(\forall x \in \left[ {1;2} \right]\).

Chia 2 vế hệ thức (1) cho \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) ta được \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = x,\forall x \in \left[ {1;2} \right].\) (2)

Lấy tích phân 2 vế trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) hệ thức (2), ta được

\(\int\limits_1^2 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx = \int\limits_1^2 {xdx \Leftrightarrow } \left[ {\frac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}}} \right]\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = \left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{f\left( 1 \right)}} - \frac{1}{{f\left( 2 \right)}} = \frac{3}{2}.} \)

Do \(f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}\) nên suy ra \(f\left( 1 \right) = - \frac{2}{3}.\)

Chọn C.