Câu hỏi:
03/01/2023 525
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\sin x - \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = \frac{{ - 11}}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi ,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right)} \). Giá trị của \(\frac{b}{c}\) là
Câu hỏi trong đề: 70 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Tích phân có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Phân tích \(\frac{{3\sin x - \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}} = \frac{{m\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + n\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)}}{{2\sin x + 3\cos x}}\)
\( = \frac{{\left( {2m - 3n} \right)\sin x + \left( {3m + 2n} \right)\cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}\)
Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 3n = 3\\3m + 2n = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{{13}};n = - \frac{{11}}{{13}}\).
Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\sin x - \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{3}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \frac{{11}}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)}}{{2\sin x + 3\cos x}}} dx.\)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\frac{3}{{13}} - \frac{{11}}{{13}}.\frac{{2\cos x - 3\sin x}}{{2\sin x + 3\cos x}}} \right]dx} = \frac{3}{{13}}\left( x \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right. - \frac{{11}}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\cos x - 3\sin x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx.} \)
\( = \frac{{3\pi }}{{26}} - \frac{{11}}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d\left( {2\sin x + 3\cos x} \right)}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx} = \frac{{3\pi }}{{26}} - \frac{{11}}{{13}}\ln \left| {2\sin x + 3\cos x} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right.\)
\( = \frac{{3\pi }}{{26}} - \frac{{11}}{{13}}\ln 2 + \frac{{11}}{{13}}\ln 3.\) Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{11}}{{13}}\\c = \frac{3}{{26}}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{11}}{{13}}.\frac{{26}}{3} = \frac{{22}}{3}\)
Chọn A.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Khi vật dừng lại thì \(v\left( t \right) = 160 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 16\)
Do đó \(S = \int\limits_0^{16} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt} \)
\( = \left( {160t - 5{t^2}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle16\atop\scriptstyle}} \right. = 1280\left( m \right)\).
Chọn B.Lời giải
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2t \Rightarrow dx = 2dt.\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 4 \Rightarrow t = 2\end{array} \right..\) Do đó \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} = \int\limits_0^2 {4tf'\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {4xf'\left( x \right)dx} .\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 4x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 4dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right..\)
Suy ra
\(\int\limits_0^2 {4xf'\left( x \right)dx} = \left[ {4xf\left( x \right)} \right]\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_0^2 {4f\left( x \right)dx} = 8f\left( 2 \right) - 4\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 8.16 - 4.4 = 112.\)
Chọn A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận