Cho \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3} + 1}}} dx = \frac{1}{a}\ln \left( {\frac{a}{b} + \sqrt b } \right)} \), với \(a,b\) là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức \(P = 2\left( {a + b} \right)\) bằng

Hướng dẫn giải

Biến đổi \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3} + 1}}} dx = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{{x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} }}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} }}.\frac{1}{{{x^4}}}dx} } } \).

Đặt \(u = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \Rightarrow {u^2} = 1 + \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow 2udu = - \frac{3}{{{x^4}}}dx\) và \({x^3} = \frac{1}{{{u^2} - 1}}.\)

Đổi cận \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow u = 3;x = 1 \Rightarrow u = \sqrt 2 .\)

Ta có \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{\frac{{2udu}}{3}}}{{\left( {{u^2} - 1} \right).u}}} = \frac{2}{3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\sqrt 2 }^{\scriptstyle3\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{1}{3}\ln \left( {\frac{3}{2} + \sqrt 2 } \right).\)

Suy ra \(a = 3,b = 2.\) Vậy \(P = 2\left( {a + b} \right) = 10.\)

Chọn B.