Câu hỏi:
03/01/2023 101
Cho \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3} + 1}}} dx = \frac{1}{a}\ln \left( {\frac{a}{b} + \sqrt b } \right)} \), với \(a,b\) là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức \(P = 2\left( {a + b} \right)\) bằng
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
70 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Tích phân có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Biến đổi \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3} + 1}}} dx = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{{x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} }}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} }}.\frac{1}{{{x^4}}}dx} } } \).
Đặt \(u = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \Rightarrow {u^2} = 1 + \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow 2udu = - \frac{3}{{{x^4}}}dx\) và \({x^3} = \frac{1}{{{u^2} - 1}}.\)
Đổi cận \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow u = 3;x = 1 \Rightarrow u = \sqrt 2 .\)
Ta có \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{\frac{{2udu}}{3}}}{{\left( {{u^2} - 1} \right).u}}} = \frac{2}{3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\sqrt 2 }^{\scriptstyle3\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{1}{3}\ln \left( {\frac{3}{2} + \sqrt 2 } \right).\)
Suy ra \(a = 3,b = 2.\) Vậy \(P = 2\left( {a + b} \right) = 10.\)
Chọn B.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( 2 \right) = 16\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4.\) Tích phân \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \) bằng
Xem đáp án »
03/01/2023
11,369
Câu 2:
Biết \(\int\limits_1^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}dx} = m{e^{\frac{p}{q}}} - n,\) trong đó \(m,n,p,q\) là các số nguyên dương và \(\frac{p}{q}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(T = m + n + p + q\) là
Xem đáp án »
03/01/2023
5,416
Câu 3:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng
Xem đáp án »
03/01/2023
5,303
Câu 4:
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5;} \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 7} \).
Giá trị của \(A = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} \) là
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5;} \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 7} \).
Giá trị của \(A = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} \) là
Xem đáp án »
03/01/2023
4,656
Câu 5:
Cho \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx = a.{e^2} + b} \) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Giá trị của tổng \(a + b\) là
Xem đáp án »
03/01/2023
3,117
Câu 6:
Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\) \(\left( {m/s} \right)\), có gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \frac{3}{{2t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\)
Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là
Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\) \(\left( {m/s} \right)\), có gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \frac{3}{{2t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\)
Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là
Xem đáp án »
04/01/2023
2,702
Câu 7:
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx = 5} \) . Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \) là bao nhiêu?
Xem đáp án »
03/01/2023
2,606
về câu hỏi!