Cho hàm số \(f\left( x \right)\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi }{2}\) và có đạo hàm liên tục thỏa mãn \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx = \frac{\pi }{4}} \) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right).\cos xdx = \frac{\pi }{4}.} \) Giá trị của \(f\left( {2019\pi } \right)\).

Hướng dẫn giải

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có

\(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right).\cos xdx} = \left[ {f\left( x \right).\sin x} \right]\left| {_{\frac{\pi }{2}}^{\scriptstyle\pi \atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f'\left( x \right).\sin xdx} .\) Suy ra \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f'\left( x \right).\sin xdx} = - \frac{\pi }{4}.\)

Mặt khác \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\sin }^2}xdx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}dx = \left[ {\frac{{2x - \sin 2x}}{4}} \right]\left| {_{\frac{\pi }{2}}^{\scriptstyle\pi \atop\scriptstyle}} \right. = \frac{\pi }{4}.} \)

Suy ra

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xf'\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f'\left( x \right) + \sin x} \right]}^2}dx} = 0.} \)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin x.\) Do đó \(f\left( x \right) = \cos x + C.\) Vì \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C = 0.\)

Ta được \(f\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f\left( {2019\pi } \right) = \cos \left( {2019\pi } \right) = - 1.\)

Chọn A.