Câu hỏi:

04/02/2023 3,401

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị (H). Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng

A. $3 \sqrt{2}$

B,. $\sqrt{3} .$

C. $\sqrt{6} .$

D. $2 \sqrt{6} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 178 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 5: Tiếp tuyến có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{- 3}{{(2 x - 1)}^{2}}$ . Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên

$y^{'} (x_{1}) = y^{'} (x_{2}) \Leftrightarrow \frac{- 3}{{(2 x_{1} - 1)}^{2}} = \frac{- 3}{{(2 x_{2} - 1)}^{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = x_{2} \\ x_{1} + x_{2} = 1 \end{array}$

Vì $x_{1} \neq x_{2}$ nên $x_{1} + x_{2} = 1$ .

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử $x_{1} = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}, a > 0$ thì $A (\frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a + 3}{2 a}), B (- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a - 3}{2 a})$ .

Gọi $I (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta thấy $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 = 2 x_{I} \\ y_{1} + y_{2} = 1 = 2 y_{I} \end{cases}$ nên I là trung điểm của AB.

Ta có $\vec{I A} = (\frac{a}{2}; \frac{3}{2 a}) \Rightarrow I A = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9}{4 a^{2}}} \geq \sqrt{2 \sqrt{\frac{a^{2}}{4} . \frac{9}{4 a^{2}}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Vì I là trung điểm của AB nên $A B = 2 I A \geq 2 \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6}$ .

Vậy $A B_{\min} = \sqrt{6}$ khi $\frac{a^{2}}{4} = \frac{9}{4 a^{2}} \Rightarrow a^{2} = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3}$

Chọn C.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = - x^{3} + x + 2$ tại điểm $M (- 2; 8)$ bằng

A. -11

B. 6

C. 11

D. -12

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} + 1 \Rightarrow y^{'} (- 2) = - 11$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M (- 2; 8)$ và $y = - 11 (x + 2) + 8$ .

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là $k = - 11$ .

Chọn A.

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn $O A = 4 O B$ là

A. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x - \frac{13}{4} \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x - \frac{13}{4} \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4} \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4} \end{array}$

Lời giải

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà $O A = 4 O B$ .

Khi đó $Δ O A B$ vuông tại O và ta có $|k| = \tan \hat{O A B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = \pm \frac{1}{4}$

Ta có: $y^{'} = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Xét phương trình $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{1}{4}$ (vô nghiệm).

Xét phương trình $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 1 \end{array}$

+ Với x=3 thì $y = \frac{5}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y = - \frac{1}{4} (x - 3) + \frac{5}{2} = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4}$ .

+ Với x=-1 thì $y = \frac{3}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y = - \frac{1}{4} (x + 1) + \frac{3}{2} = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Chọn C.

Câu 3

Cho hai hàm số $f (x), g (x)$ đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn $f^{3} (2 - x) - 2 f^{2} (2 + 3 x) + x^{2} g (x) + 36 x = 0$ , với mọi $x \in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ x=2 là

A. $y = - x .$

B. $y = 2 x - 3.$

C. $y = - 2 x + 3.$

D. $y = x .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x - 2$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là

A. $y = 3 x - 2$

B. $y = 2 x + 1$

C. $y = - 2 x + 1$

D. $y = - 3 x - 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{2 x}{x + 2}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{18}$ là

A. $y = \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{2}{9} .$

B. $y = \frac{9}{4} x + \frac{31}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{2}{9} .$

C. $y = \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{4}{9} .$

D. $y = \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{1}{9} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ song song với đường thẳng $Δ : y = x + 1$ ?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi đường thẳng $y = a x + b$ là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ . Giá trị a-b bằng

A. 2

B. -1

C. 1

D. $\frac{1}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số y=x+12x−1 có đồ thị (H). Gọi Ax1;y1, Bx2;y2 là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=−x3+x+2 tại điểm M−2;8 bằng

Cho hàm sốy=2x−1x−1 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA=4OB là

Cho hai hàm số fx, gx đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn f32−x−2f22+3x+x2gx+36x=0 , với mọi x∈ℝ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=fx tại điểm có hoành độ x=2 là

Cho hàm số y=−x3+3x−2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là

Cho hàm số y=2xx+2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 118 là

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x+1x+1 song song với đường thẳng Δ:y=x+1 ?

Gọi đường thẳng y=ax+b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x−1x+1 tại điểm có hoành độ x=1 . Giá trị a-b bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị (H). Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = - x^{3} + x + 2$ tại điểm $M (- 2; 8)$ bằng

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn $O A = 4 O B$ là

Cho hai hàm số $f (x), g (x)$ đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn $f^{3} (2 - x) - 2 f^{2} (2 + 3 x) + x^{2} g (x) + 36 x = 0$ , với mọi $x \in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ x=2 là

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x - 2$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là

Cho hàm số $y = \frac{2 x}{x + 2}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{18}$ là

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ song song với đường thẳng $Δ : y = x + 1$ ?

Gọi đường thẳng $y = a x + b$ là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ . Giá trị a-b bằng