Câu hỏi:
11/07/2024 5,863Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).
Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H của tam giác ABC.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
* Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Khi đó IA = IB = IC.
Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:
+) \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;2 - b} \right)\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2}} \)
+) \(\overrightarrow {IB} = \left( {3 - a;4 - b} \right)\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IB} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + {{\left( {4 - b} \right)}^2}} \)
+) \(\overrightarrow {IC} = \left( {2 - a; - 1 - b} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2}} \)
Do đó IA = IB = IC IA2 = IB2 = IC2
(1 – a)2 + (2 – b)2 = (3 – a)2 + (4 – b)2 = (2 – a)2 + (–1 – b)2
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1--a} \right)^2} + {\left( {2--b} \right)^2} = {\left( {3--a} \right)^2} + {\left( {4--b} \right)^2}\\{\left( {1--a} \right)^2} + {\left( {2--b} \right)^2} = {\left( {2--a} \right)^2} + {\left( {--1--b} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2a + {a^2} + 4 - 4b + {b^2} = 9 - 6a + {a^2} + 16 - 8b + {b^2}\\1 - 2a + {a^2} + 4 - 4b + {b^2} = 4 - 4a + {a^2} + 1 + 2b + {b^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 4b = 20\\2a - 6b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\a - 3b = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{15}}{4}\\b = \frac{5}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right)\)
* Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Gọi H(x0; y0) là tọa độ trực tâm của tam giác ABC.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên theo kết quả của Bài 4.15, phần a) trang 54 ta có \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \) (với M là trung điểm của BC).
Với A(1; 2), B(3; 4), C(2; –1) và \(I\left( {\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right)\)ta có:
• Trung điểm M của BC có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{ccccc}{x_M} = \frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}\\y{ & _M} = \frac{{4 + \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
• \(\overrightarrow {IM} = \left( {\frac{5}{2} - \frac{{15}}{4};\frac{3}{2} - \frac{5}{4}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};\frac{1}{4}} \right)\)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {IM} = \left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
• \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_0} - 1;{y_0} - 2} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = \frac{{ - 5}}{2}\\{y_0} - 2 = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ - 3}}{2}\\{y_0} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right).\)
Vậy \(I\left( {\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right)\) và \(H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right).\)
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho các đỉnh của hình hồ hình chữ nhật có các tọa độ là A(0; 0), B(200; 0), C(200; 180) và D(0; 180).
Gọi vị trí các cột điện được trồng là C1, C2, C3 và C4.
Vì vị trí cột điện thứ nhất C1 nằm trên bờ AB và cách A một khoảng 20 m nên trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C1(20; 0).
Vị trí cột điện thứ tư nằm trên bờ CD và cách C một khoảng 30 m nên khoảng cách từ C4 đến D là 170 m. Khi đó trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C4(170; 180).
Vì bốn cột điện được trồng liên tiếp nhau và cách đều trên một đường thẳng nên:
C1C2 = C2C3 = C3C4
C1C2 = \(\frac{1}{3}\)C1C4 và C1C3 = \(\frac{2}{3}\)C1C4.
\( \Rightarrow \overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \) và \(\overrightarrow {{C_1}{C_3}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \)
Giả sử C2(a; b) và C3(x; y).
Với C1(20; 0), C4(170; 180) ta có:
\(\overrightarrow {{C_1}{C_4}} = \left( {150;180} \right)\); \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \left( {a - 20;b} \right)\) và \(\overrightarrow {{C_1}{C_3}} = \left( {x - 20;y} \right)\)
• \[\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 20 = \frac{1}{3}.150 = 50\\b = \frac{1}{3}.180 = 60\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 70\\b = 60\end{array} \right.\] C2(70; 60).
d(C2; AB) = d(C2; Ox) = |b| = 60 (m).
d(C2; AD) = d(C2; Oy) = |a| = 70 (m).
• \(\overrightarrow {{C_1}{C_3}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 20 = \frac{2}{3}.150 = 100\\y = \frac{2}{3}.180 = 120\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 120\\y = 120\end{array} \right.\] C3(120; 120).
d(C3; AB) = d(C3; Ox) = |y| = 120 (m)
d(C3; AD) = d(C3; Oy) = |x| = 120 (m).
Vậy khoảng cách từ cột điện thứ hai đến bờ AB là 60 m và đến bờ AD là 70 m.
Khoảng cách từ cột điện thứ ba đến bờ AB là 120 m và đến bờ AD là 120 m.
Lời giải
Lời giải
Cách 1:
Gọi A(xA; yA); B(xB; yB) và C(xC; yC) là tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.
Ta có:
+) M(4; 0) là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}4 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\0 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 8\\{y_B} + {y_C} = 0\end{array} \right.\)(1)
+) N(5; 2) là trung điểm của CA nên \[\left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\2 = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = 10\\{y_A} + {y_C} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 10 - {x_A}\\{y_C} = 4 - {y_A}\end{array} \right.\](2)
+) P(2; 3) là trung điểm của AB nên \[\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\3 = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\\{y_A} + {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - {x_A}\\{y_B} = 6 - {y_A}\end{array} \right.\](3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {4 - {x_A}} \right) + \left( {10 - {x_A}} \right) = 8\\\left( {6 - {y_A}} \right) + \left( {4 - {y_A}} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}14 - 2{x_A} = 8\\10 - 2{y_A} = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{y_A} = 5\end{array} \right.\) A(3; 5)
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - 3 = 1\\{y_B} = 6 - 5 = 1\end{array} \right.\] B(1; 1)
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 10 - 3 = 7\\{y_C} = 4 - 5 = - 1\end{array} \right.\] C(7; –1)
Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).
Cách 2:
Do M, N, P
lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC.
MN // AB, NP // BC, MP // AC.
+) Do MN // BM và NP // BM nên tứ giác MNPB là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {NP} \)
Gọi B(xB; yB) và có M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} = \left( {{x_B} - 4;{y_B}} \right)\) và \(\overrightarrow {NP} = \left( {2 - 5;3 - 2} \right) = \left( { - 3;1} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {NP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 4 = - 3\\{y_B} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1\\{y_B} = 1\end{array} \right.\) B(1; 1)
Tương tự ta cũng có A(3; 5) và C(7; –1).
Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
16 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề có đáp án
-
Bộ 2 Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1
-
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
-
10 Bài tập Cách xét tính đúng sai của mệnh đề (có lời giải)
-
10 Bài tập Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton (có lời giải)
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)