Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét DMNP có O là giao điểm của hai đường trung tuyến MA, NC nên O là trọng tâm tam giác MNP.

Suy ra NO = \(\frac{2}{3}\)NC, MO = \(\frac{2}{3}\)MA

Do đó OC = \(\frac{1}{3}\)NC hay NC = 3OC và MA = \(\frac{3}{2}\)MO.

Mà MO = 2,5 cm, OC = 1 cm (giả thiết)

Nên NC = 3 . 1 = 3 (cm), MA = \(\frac{3}{2}\). 2,5 = 3,75 (cm).

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi G là giao điểm của AM và BN.

Xét DABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra \({\rm{AG = }}\frac{2}{3}{\rm{AM}}\), \({\rm{BG = }}\frac{2}{3}{\rm{BN}}\)

Do đó \({\rm{MG = }}\frac{1}{3}{\rm{AM}}\), \({\rm{NG = }}\frac{1}{3}{\rm{BN}}\).

Mà AM = BN (giả thiết) nên AG = BG, MG = NG.

Xét ΔAGN và ΔBGM có

AG = BG (chứng minh trên),

\(\widehat {AGN} = \widehat {BGM}\) (hai góc đối đỉnh),

NG = MG (chứng minh trên)

Do đó ΔAGN = ΔBGM (c.g.c)

Suy ra AN = BM (hai cạnh tương ứng)

Lại có AN = \(\frac{1}{2}\)AC (vì N là trung điểm của AC);

          BM = \(\frac{1}{2}\)BC (vì M là trung điểm của BC).

Nên AC = BC.

Suy ra tam giác ABC cân tại C.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có CE = 2BE nên BE = \(\frac{1}{2}CE\)

Do đó BC = CE + BE = CE + \(\frac{1}{2}\)CE = \(\frac{3}{2}\)CE

Suy ra CE = \(\frac{2}{3}\)BC.

Xét DACD có CB là đường trung tuyến (do AB = BD) và E nằm trên BC thỏa mãn CE = \(\frac{2}{3}\)BC.

Suy ra E là trọng tâm tam giác ACD.

Mà K là giao điểm của AE và CD (giả thiết).

Nên AK là đường trung tuyến trong tam giác ACD.

Suy ra K là trung điểm của CD.

Hay DK = KC = \(\frac{1}{2}\)CD.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DMNP có hai đường trung tuyến NE và PF cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác MNP.

Suy ra MH là đường trung tuyến của tam giác MNP.

Do đó H là trung điểm của NP hay NH = PH.

Vì tam giác MNP cân tại M nên MN = MP

Xét DMNH và DMPH có:

NH = PH (chứng minh trên),

MH là cạnh chung,

MN = MP (chứng minh trên)

Do đó DMNH = DMPH (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {MHN} = \widehat {MHP}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MHN} + \widehat {MHP} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {MHN} = \widehat {MHP} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Hay MH vuông góc NP tại trung điểm H của NP.

Suy ra MH là trung trực của NP.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BN là trung tuyến nên N là trung điểm của AC.

Suy ra AN = CN

Xét DABN và DICN có

AN = NC (chứng minh trên),

\(\widehat {ANB} = \widehat {CNI}\) (hai góc đối đỉnh),

NB = NI (giả thiết)

Do đó DABN = DCIN (c.g.c)

Vậy ta chọn phướng án C.