Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có CI = \(\frac{1}{2}\)AB (giả thiết), IA = IB (vì I là trung điểm của AB).

Nên AI = BI = CI

Xét DIBC có IB = IC nên tam giác IBC cân tại I.

Suy ra \(\widehat {ICB} = \widehat {IBC}\)

Xét DIAC có IA = IC nên tam giác IAC cân tại I

Suy ra \(\widehat {ICA} = \widehat {IAC}\)

Xét DABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay \(\widehat {IBC} + \widehat {IAC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {ICB} = \widehat {IBC}\),\(\widehat {ICA} = \widehat {IAC}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(2(\widehat {ICB} + \widehat {ACI}) = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {ACB} = 180^\circ :2 = 90^\circ \)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

• Vì D là trung điểm của AC nên AD = DC = \(\frac{1}{2}\)AC.

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB.

Mà AB = AC (do DABC cân tại A)

Suy ra AE = AD = BE = CD. Do đó phương án C là đúng.

• Xét DEBC và DDCB có:

BE = CD (chứng minh trên),

\(\widehat {DCB} = \widehat {EBC}\)(do DABC cân tại A),

BC là cạnh chung

Do đó DEBC = DDCB (c.g.c)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Xét DABC có trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra EG = \(\frac{1}{3}\)CE và GD = \(\frac{1}{3}\)BD

Mà BD = EC (chứng minh trên) nên EG = \(\frac{1}{3}\)BD hay BD = 3EG

Do đó phương án D là đúng.

• Ta có EG = \(\frac{1}{3}\)CE và GD = \(\frac{1}{3}\)BD

Mà BD = EC nên EG = GD.

Suy ra G nằm trên đường trung trực của ED.

Lại có AE = AD nên A cũng nằm trên đường trung trực của ED.

Do đó AG là đường trung trực của ED nên phương án A là đúng.

• Xét DBCG, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

BG + CG > BC

Suy ra \(\frac{1}{2}\)BG + \(\frac{1}{2}\)CG > \(\frac{1}{2}\)BC

Mà GD = \(\frac{1}{2}\)BG, GE = \(\frac{1}{2}\)CG (do G là trọng tâm tam giác ABC).

Do đó GD + GE > \(\frac{1}{2}\)BC nên phương án B là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Ta xét (I):

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có \(GB = \frac{2}{3}BE\) và \(GC = \frac{2}{3}CF\).

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra \(\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF > BC\).

Hay \(\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\).

Do đó \(BE + CF > \frac{3}{2}BC\) (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) \(AD + BE > \frac{3}{2}AB\) (2).

+) \(AD + CF > \frac{3}{2}AC\) (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

\(2AD + 2BE + 2CF > \frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}BC + \frac{3}{2}AC\).

Suy ra \(2\left( {AD + BE + CF} \right) > \frac{3}{2}\left( {AB + BC + AC} \right)\).

Do đó \(AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right)\).

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’,

\(\widehat {ADB} = \widehat {A'DC}\) (hai góc đối đỉnh),

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC),

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được:

AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC (5).

+) 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.