Câu hỏi:
12/07/2024 3,059
Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Dựa vào phương trình đường thẳng d ta có:
x + y – 1 = 0
⇔ y = 1 – x
Do M thuộc đường thẳng d nên toạ độ của điểm M có dạng M(t; 1– t).
Chu vi tam giác ABM là: AB + MA + MB
Mà AB luôn không đổi nên chu vi tam giác ABM nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất.
Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có:
MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B
Dấu bằng xảy ra khi M = A’B ∩ d
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó AH đi qua điểm A(–3;0) và nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1} \right)\) của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến nên phương trình của AH là:
1(x + 3) – 1(y – 0) = 0
⇔ x – y + 3 = 0
Vậy toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - y + 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 1}\\{x - y = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.} \right.\)
Suy ra H(–1; 2). Mặt khác, H là trung điểm của AA’ nên ta có:
xH = (xA + xA’) : 2 ⇔ xA’ = 2xH – xA = 2.(–1) – (–3) = 1
yH = (yA + yA’) : 2 ⇔ yA’ = 2yH – yA = 2.2 – 0 = 4
Do đó, ta có A’(1; 4)
Ta có \[\overrightarrow {A'B} = \left( {0; - 6} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’B. Do đó A’B là đường thẳng đi qua đểm A’(1; 4) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng A’B là:
1(x – 1) + 0(y – 4) = 0
⇔ x – 1 = 0
Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + y - 1 = 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Do đó ta có M(1; 0).
Nhà sách vietjack
Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: 3x + y – 3= 0 bằng \(\sqrt {10} \).
Xem đáp án »
12/07/2024
8,997
Câu 2:
Trong một hoạt động ngoại khoá của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá 20 000 đồng/1 bánh mì và nước giá 8 000 đồng/1 chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt qua 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu ?
Xem đáp án »
12/07/2024
3,195
Câu 3:
Lập phương trình đường thẳng a song song với đường thẳng ∆ và cách điểm O một khoảng bằng \(\sqrt 5 \).
Xem đáp án »
12/07/2024
3,124
Câu 4:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x + y – 5 = 0.
Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(3; 1) và song song với đường thẳng ∆.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x + y – 5 = 0.
Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(3; 1) và song song với đường thẳng ∆.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,081
Câu 6:
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(2; –2) và C(0; –1).
Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(2; –2) và C(0; –1).
Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.
Xem đáp án »
12/07/2024
1,444
🔥 Đề thi HOT:
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
-
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Quy tắc đếm có đáp án
-
10 Bài tập Các bài toán thực tế ứng dụng nhị thức Newton (có lời giải)
-
10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận