\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)

Vậy m trùng với k.

Câu 2/21

\(a:\left\{ {\begin{array}{{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{{20}{c}}{x = 3t'}\\{y = 1 + t'}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t'}\\{y = 1 + t'}\end{array}} \right.\)

Ta có:

Vectơ chỉ phương của a là: \(\overrightarrow {{u_a}} \) = (2; 0)

Vectơ chỉ phương của b là: \(\overrightarrow {{u_b}} \) = (3; 1)

Do \(\frac{2}{3} \ne \frac{0}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_a}} \) và \(\overrightarrow {{u_b}} \) không cùng phương

Vậy a và b cắt nhau.

Câu 3/21

d₁: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét d₁: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\)

Vectơ pháp tuyến của d₁ là: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {1; - 2} \right)\)

Vectơ chỉ phương của d₂ là: \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 2; - 1} \right)\). Do đó, d₂ có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \overrightarrow {{n_{{d_2}}}} \) nên d₁ và d₂song song hoặc trùng nhau

Xét d₁: x – 2y – 1 = 0 . Khi x = 3 thì y = 1, do đó, điểm (3; 1) thuộc đường thẳng d₁.

Xét \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 1 - 2t}\\{1 = 2 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 1\end{array} \right.\) (không thể tồn tại), do đó, điểm (3; 1) không thuộc đường thẳng d₂

Vậy d₁ // d₂.

Câu 4/21

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0;

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {0;1} \right),\overrightarrow {{n_k}} = \left( {1; - 1} \right)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\,\,\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {0.1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).

Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

Câu 5/21

\(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\) và b: 3x + y + 1 = 0;

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {{u_a}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_b}} = \left( {3;1} \right)\)

nên \(\overrightarrow {{u_b}} = \left( {1; - 3} \right)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_a}} ,\,\,\overrightarrow {{u_b}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} .\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \)

Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là φ = 45°.

Câu 6/21

\(m:\left\{ {\begin{array}{{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\)và \(n:\left\{ {\begin{array}{{20}{c}}{x = 4 - t'}\\{y = \sqrt 3 t'}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng m và n. Từ giả thiết ta có\(\overrightarrow {{u_m}} = \left( {1;\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {{u_n}} = \left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\). Do đó theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng thì

\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_m}} ,\,\,\overrightarrow {{u_n}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_m}} .\overrightarrow {{u_n}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_m}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_n}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \sqrt 3 .\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \varphi = 60^\circ \)

Vậy góc giữa hai đường thẳng m và n là φ = 60°.

Câu 7/21

Cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0.

Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0 ta có:

a₁ = 2, b₁ = 1, c₁= 1

a₂ = 2, b₂ = 5, c₂= –3

Xét tỉ số:

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{2}{2} = 1;\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{1}{5};\frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} = \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)

Do đó, d và k cắt nhau (điều cần phải chứng minh).

Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\2x + 5y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = - 1\\2x + 5y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (–1; 1).

Câu 8/21

Tính tang của góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.

Từ giả thiết ta có\(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_k}} = \left( {2;5} \right)\)

Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì:

\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {2.2 + 1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {145} }}\)

Vì φ là góc giữa hai đường thẳng nên 0° ≤ φ ≤ 90°, hơn nữa cosφ ≠ 0 và cosφ ≠ 1 nên ta có: 0° < φ < 90°, suy ra tanφ > 0.

Lại có: 1 + tan²φ = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }}\).

Do đó, \({\tan ^2}\varphi = \frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1 = \frac{{145}}{{81}} - 1 = \frac{{64}}{{81}} \Rightarrow \tan \varphi = \frac{8}{9}\).

Câu 9/21