Tính tang của góc giữa hai đường thẳng.

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.

Từ giả thiết ta có\(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_k}} = \left( {2;5} \right)\)

Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì:

\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {2.2 + 1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {145} }}\)

Vì φ là góc giữa hai đường thẳng nên 0° ≤ φ ≤ 90°, hơn nữa cosφ ≠ 0 và cosφ ≠ 1 nên ta có: 0° < φ < 90°, suy ra tanφ > 0.

Lại có: 1 + tan²φ = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }}\).

Do đó, \({\tan ^2}\varphi = \frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1 = \frac{{145}}{{81}} - 1 = \frac{{64}}{{81}} \Rightarrow \tan \varphi = \frac{8}{9}\).