Trong một hoạt động ngoại khoá của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá 20 000 đồng/1 bánh mì và nước giá 8 000 đồng/1 chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt qua 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Do M thuộc Ox nên toạ độ của M có dạng M(m; 0).

Từ giả thiết ta có:

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3m + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {10} \)

⇔ |3m – 3| = 10 (*)

TH1: 3m – 3 ≥ 0 hay m ≥ 1

Khi đó, ta có:

(*) ⇔ 3m – 3 = 10 ⇔ m = \(\frac{{13}}{3}\)(thỏa mãn)

TH2: 3m – 3 < 0 hay m < 1

Khi đó, ta có:

(*) ⇔ –3m + 3 = 10 ⇔ m = \( - \frac{7}{3}\) (thỏa mãn)

Vậy có hai điểm thoả mãn là \({M_1}\left( {\frac{{13}}{3};0} \right);{M_2}\left( { - \frac{7}{3};0} \right)\).

Dựa vào phương trình đường thẳng d ta có:

x + y – 1 = 0

⇔ y = 1 – x

Do M thuộc đường thẳng d nên toạ độ của điểm M có dạng M(t; 1– t).

Chu vi tam giác ABM là: AB + MA + MB

Mà AB luôn không đổi nên chu vi tam giác ABM nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có:

MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

Dấu bằng xảy ra khi M = A’B ∩ d

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó AH đi qua điểm A(–3;0) và nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1} \right)\) của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến nên phương trình của AH là:

1(x + 3) – 1(y – 0) = 0

⇔ x – y + 3 = 0

Vậy toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - y + 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 1}\\{x - y = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.} \right.\)

Suy ra H(–1; 2). Mặt khác, H là trung điểm của AA’ nên ta có:

x_H = (x_A + x_A’) : 2 ⇔ x_{A’ ­­­­­­}= 2x_H – x_A = 2.(–1) – (–3) = 1

y_H = (y_A + y_A’) : 2 ⇔ y_{A’ ­­­­­­}= 2y_H – y_A = 2.2 – 0 = 4

Do đó, ta có A’(1; 4)

Ta có \[\overrightarrow {A'B} = \left( {0; - 6} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’B. Do đó A’B là đường thẳng đi qua đểm A’(1; 4) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng A’B là:

1(x – 1) + 0(y – 4) = 0

⇔ x – 1 = 0

Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + y - 1 = 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Do đó ta có M(1; 0).