Trong một hoạt động ngoại khoá của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá 20 000 đồng/1 bánh mì và nước giá 8 000 đồng/1 chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt qua 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là số chiếc bánh mì và chai nước khoáng mà lớp Việt định mua để bán. Khi đó từ giả thiết ta có: x, y ∈ ℕ.

Mặt khác từ giả thiết ta có:

Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt qua 200 nên:

x + y ≤ 200 (1)

Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng nên:

15 000x + 5 000y ≤ 2 000 000 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 200}\\{15\,\,000x + 5\,\,000y \le 2\,\,000\,\,000}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 200}\\{3x + y \le 400}\end{array}} \right.\)

Tập nghiệm của hệ bất phương trình kết hợp với điều kiện x, y ∈ ℕ được biểu diễn bởi phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây (tứ giác OABC)

Nếu bán hết thì lợi nhuận lớp Việt có được là: d = 5x + 3y (nghìn đồng).

Để tìm lợi nhuận lớn nhất ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

d = 5x + 3y.

Khi đó các cặp (x; y) thoả mãn đề bài là các cặp số tự nhiên sao cho điểm M(x; y) nằm trong miền tứ giác OABC.

Ta có \(d:5x + 3y = \sqrt {34} .\frac{{\left| {5x + 3y} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = \sqrt {34} .d\left( {M,\Delta } \right)\)với Δ là đường thẳng có phương trình 5x + 3y = 0.

Gọi k là đường thẳng qua M và song song với Δ. Khi đó ta có d(M, Δ) = d(k, Δ). Do đó d lớn nhất tương ứng với khoảng cách giữa k và Δ lớn nhất. Từ hình vẽ ta có khoảng cách giữa k và Δ lớn nhất khi M trùng B. Do đó giá trị lớn nhất của d là

\(\sqrt {34} .\frac{{\left| {5.100 + 3.100} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = 800\)

Vậy lợi nhuận tối đa mà lớp Việt có thể đạt được là 800 nghìn đồng khi các bạn mua và bán được 100 chiếc bánh mì và 100 chai nước.