Câu hỏi:
12/07/2024 4,588
Cho parabol (P) có phương trình là y2 = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của (P) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 10 Bài 22. Ba đường conic có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Gọi vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b} \right)\). Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + at}\\{y = 0 + bt = bt}\end{array}} \right.\).
Toạ độ giao điểm của Δ và (P) ứng với thoả mãn phương trình
(bt)2 =16 . (4 + at) ⇔ b2t2 – 16at – 64 = 0. (1)
Phương trình (1) có Δ’ = 64a2 + 64b2 > 0 (do b ≠ 0), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi A(4 + at1; bt1), B(4 + at2; bt2), trong đó t1, t2 là hai nghiệm của phương trình (1).
Ta có
\(d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \frac{{\left| {b{t_1}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}.\frac{{\left| {b{t_2}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {{b^2}.{t_1}{t_2}} \right|\)
Dựa vào phương trình (1). Theo định lí Vi–ét ta có: \({t_1}{t_2} = \frac{{ - 64}}{{{b^2}}}\). Từ đó suy ra
\(d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \left| {{b^2}.\frac{{ - 64}}{{{b^2}}}} \right| = 64\)
Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8 m thì có chiều rộng không quá 3 m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8 m có thể đi qua hầm được không?
Xem đáp án »
12/07/2024
24,913
Câu 2:
Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.
Xem đáp án »
12/07/2024
9,400
Câu 3:
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ; - 4} \right)\)và có một tiêu điểm là F2(5; 0).
Xem đáp án »
12/07/2024
5,678
Câu 4:
Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,610
Câu 5:
Cho elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,405
Câu 6:
Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,568
về câu hỏi!