Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

Tính MF₁² – MF₂²  theo x₀; y₀. Từ đó tính MF₁, MF₂, theo x₀; y₀.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1,\(a = \sqrt 2 ,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {2 - 1} = 1\).

(E) có hai tiêu điểm là F₁(–1; 0); F₂(1; 0).

Ta có:

MF₁² = (x₀ + 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ + 1)² + y₀²

MF₂² = (x₀ – 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ – 1)² + y₀²

MF₁² – MF₂²  

= (x₀ + 1)² + y₀² – [(x₀ – 1)² + y₀²]

= (x₀ + 1)² – (x₀ – 1)²

= x₀²  + 2x₀ + 1 – (x₀²  – 2x₀ + 1)

= 4x₀.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF₁ + MF₂ = 2a = \(2\sqrt 2 \) (1)  

Mà: (MF₁ – MF₂)(MF₁ + MF₂) = MF₁² – MF₂²  

\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_1^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{4{x_0}}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x_0}\)       (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF₁ = \(2\sqrt 2 \) + \(\sqrt 2 {x_0}\)

⇔ MF₁ = \(\sqrt 2 \) + \(\frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\)

⇒ MF₂ = \(2\sqrt 2 - \sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\).