Cho dãy số (un) xác định bởi u1=cosα0<α<πun+1=1+un2,∀n≥1 . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là A. u2020=cosα22020. B. u2020=cosα22019. C. u2020=sinα22021. D. u2020=sinα22020.

Chọn B Do 0<α<π nên u2=1+cosα2=cos2α2=cosα2; u3=1+cosα22=cos2α2=cosα4 Vậy u=cosα2n−1 với mọi n∈ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Với n=1 thì u1=cosα (đúng). Giả sử với n=k∈ℕ* ta có uk=cosα2k−1. Ta chứng minh uk+1=cosα2k−1 Thật vậy uk+1=1+uk2=1+cosα2k−12=cos2α2k=cosα2k Từ đó ta có u2020=cosα22019

Câu hỏi:

19/09/2022 393

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = \cos α (0 < α < π) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}}, \forall n \geq 1 \end{cases}$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

A. $u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2020}}) .$

B. $u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2019}}) .$

C. $u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2021}}) .$

D. $u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2020}}) .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Do $0 < α < π$ nên $u_{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} = \sqrt{\cos^{2} \frac{α}{2}} = \cos \frac{α}{2}; u_{3} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{α}{2}}{2}} = \sqrt{\cos^{2} \frac{α}{2}} = \cos \frac{α}{4}$

Vậy $u = \cos (\frac{α}{2^{n - 1}})$ với mọi $n \in ℕ *$ . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Với n=1 thì $u_{1} = \cos α$ (đúng).

Giả sử với $n = k \in ℕ^{*}$ ta có $u_{k} = \cos (\frac{α}{2^{k - 1}})$ . Ta chứng minh $u_{k + 1} = \cos (\frac{α}{2^{k - 1}})$

Thật vậy $u_{k + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{k}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{α}{2^{k - 1}})}{2}} = \sqrt{\cos^{2} (\frac{α}{2^{k}})} = \cos (\frac{α}{2^{k}})$

Từ đó ta có

u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2019}})

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

A. $\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Lời giải

Chọn B

Chứng minh $u_{n} - \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} (1)$

Ta có $u_{n} = \sqrt{2} v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2 v_{n - 1}^{2} - 2 \sqrt{2} u_{n - 1} v_{n - 1} = {(u_{n - 1} - \sqrt{2} v_{n - 1})}^{2}$

Mặt khác $u_{1} - \sqrt{2} v_{1} = 3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ nên (1) đúng với n=1

Giả sử $u_{k} - \sqrt{2} v_{k} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k}$ , ta có $u_{k - 1} - \sqrt{2} v_{k + 1} = {(u - \sqrt{2} v_{k})}^{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k + 1}$

Vậy (1) đúng với $\forall n \geq 1$

Ta có $u_{n} + \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}}$

Do đó ta suy ra

\{\begin{cases} 2 u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \\ 2 \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \end{cases}

Câu 2

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

A. $1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

B. $1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .$

C. $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

D. $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Lời giải

Chọn D

Thử với n=1, n=2, n=3 ta kết luận được đáp án D sai.

Ta có $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{3}$ mới là kết quả đúng.

Câu 3