Cho dãy số (un) xác định bởi u1=cosα0<α<πun+1=1+un2,∀n≥1 . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là A. u2020=cosα22020. B. u2020=cosα22019. C. u2020=sinα22021. D. u2020=sinα22020.

Chọn B Do 0<α<π nên u2=1+cosα2=cos2α2=cosα2; u3=1+cosα22=cos2α2=cosα4 Vậy u=cosα2n−1 với mọi n∈ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Với n=1 thì u1=cosα (đúng). Giả sử với n=k∈ℕ* ta có uk=cosα2k−1. Ta chứng minh uk+1=cosα2k−1 Thật vậy uk+1=1+uk2=1+cosα2k−12=cos2α2k=cosα2k Từ đó ta có u2020=cosα22019

Câu hỏi:

19/09/2022 114

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = \cos α (0 < α < π) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}}, \forall n \geq 1 \end{cases}$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

A. $u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2020}}) .$

B. $u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2019}}) .$

Đáp án chính xác

C. $u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2021}}) .$

D. $u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2020}}) .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.

Mua ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Do $0 < α < π$ nên $u_{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} = \sqrt{\cos^{2} \frac{α}{2}} = \cos \frac{α}{2}; u_{3} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{α}{2}}{2}} = \sqrt{\cos^{2} \frac{α}{2}} = \cos \frac{α}{4}$

Vậy $u = \cos (\frac{α}{2^{n - 1}})$ với mọi $n \in ℕ *$ . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Với n=1 thì $u_{1} = \cos α$ (đúng).

Giả sử với $n = k \in ℕ^{*}$ ta có $u_{k} = \cos (\frac{α}{2^{k - 1}})$ . Ta chứng minh $u_{k + 1} = \cos (\frac{α}{2^{k - 1}})$

Thật vậy $u_{k + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{k}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{α}{2^{k - 1}})}{2}} = \sqrt{\cos^{2} (\frac{α}{2^{k}})} = \cos (\frac{α}{2^{k}})$

Từ đó ta có

u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2019}})

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

A. $\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Xem đáp án » 19/09/2022 1,645

Câu 2:

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

A. $1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

B. $1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .$

C. $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

D. $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Xem đáp án » 19/09/2022 894

Câu 3:

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi $(n \geq 5)$ đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Xem đáp án » 16/09/2022 442

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , ta có ${1.2}^{2} + {2.3}^{3} + {3.4}^{4} + ... + (n - 1) n^{2} = \frac{n (n^{2} - 1) (3 n + 2)}{12} (1)$

Xem đáp án » 16/09/2022 418

Câu 5:

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh $(n \geq 4)$ là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Xem đáp án » 16/09/2022 412

Câu 6:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (1)$

Xem đáp án » 16/09/2022 395

Câu 7:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4 + 2.7 + ... + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2} (1)$

Xem đáp án » 16/09/2022 332

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Nâng cấp VIP

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Xem thêm »

100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản

7 đề 65490 lượt thi Thi thử
93 Bài tập trắc nghiệm Lượng giác lớp 11 có lời giải

5 đề 45538 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án

2 đề 36545 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Giới hạn nâng cao

4 đề 33752 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất nâng cao

6 đề 32691 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Giới hạn cơ bản

4 đề 31781 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Hàm số lượng giác cơ bản

5 đề 29788 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Hàm số lượng giác nâng cao

6 đề 28925 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản

6 đề 26738 lượt thi Thi thử
Bài tập Lượng Giác cơ bản , nâng cao có lời giải

13 đề 18723 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Cho dãy số (un) xác định bởi u1=cosα0<α<πun+1=1+un2,∀n≥1 . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

Cho hai dãy số un, (vn) được xác định như sau u1=3,v1=2 và un+1=un2+2vn2vn=1=2un.vn với n≥2.Công thức tổng quát của hai dãy un và (vn) là

Với mọi n∈ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi (n≥5) đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2 , ta có 1.22+2.33+3.44+...+n−1n2=nn2−13n+212 (1)

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh n≥4 là nn−32.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 11.2.3+12.3.4+...+1nn+1n+2=nn+34n+1n+2 (1)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4+2.7+...+n(3n+1)=nn+12 (1)

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!