Tính giới hạn sau: A=limx→01+2x2−1+3x231−cosx

Ta có: A=limx→01+2x2−1+3x23x22sin2x2x2=limx→0fx2sin2x2x2 Mà limx→02sin2x2x2=12limx→0sinx2x22=12 . Đặt t=x2 , sử dụng phương pháp liên hợp ta có limx→0fx=limt→01+2t−1+3t3t=0. Vậy A=0.

Câu hỏi:

19/08/2025 791

Tính giới hạn sau: $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}}{1 - \cos x}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 163 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $A = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt{1 + 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}}{x^{2}}}{\frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{\frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}}$

Mà $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} {(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})}^{2} = \frac{1}{2}$ .

Đặt $t = x^{2}$ , sử dụng phương pháp liên hợp ta có

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 t} - \sqrt[3]{1 + 3 t}}{t} = 0$ .

Vậy $A = 0.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ . Tìm $\lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - x f (2)}{x - 2}$ .

A. 0.

f^{'} (2) .

2 f^{'} (2) - f (2)

f (2) - 2 f^{'} (2)

Lời giải

Đáp án C

Do hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ suy ra $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = f^{'} (2)$ .

Ta có $I = \lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - x f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow I = \lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - 2 f (2) + 2 f (2) - x f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow I = \lim_{x \to 2} \frac{2 (f (x) - f (2))}{x - 2} - \lim_{x \to 2} \frac{f (2) (x - 2)}{x - 2}$

$\Leftrightarrow I = 2 f^{'} (2) - f (2)$ .

Câu 2

Cho hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 x + 2019$ . Số nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ trên đoạn $[0; 2020 π]$ là

A. 2019.

B. 2020.

C. 1011.

D. 1010.

Lời giải

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = {(\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 x + 2020)}^{'} = \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \cos x - \sin x = 2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1$

$\Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{6}) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{6} = k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

$x \in [0; 2020 π] \Leftrightarrow 0 \leq - \frac{π}{6} + k 2 π \leq 2020 π \Leftrightarrow \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{12121}{12}$

Mà

k \in ℤ

nên

k \in \{1; 2; ..; 1010\}

. Vậy có 1010 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

Câu 3

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 m x^{2} - 12 x + 3$ với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để $f^{'} (x) \leq 0$ với $\forall x \in ℝ$ là

A. 1.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}$ . Tất cả các nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

x = 0.

x = 2.

x = - 2.

x = 0; x = - 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ . Đạo hàm của hàm số $f (x)$ nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào dưới đây?

(- \infty; 0) .

(0; + \infty) .

(- \infty; 1] \cup [1; + \infty) .

[- 1; 1] .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + x - 7}{x^{2} + 3}$ . Tập nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

\{- 1; 3\}

\{1; 3\}

\{- 3; 1\}

\{- 3; - 1\}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $f (x) = 2 x^{3} + 3 (a + 2) x^{2} + 6 a^{2} x$ . Biết $f^{'} (x) > 0$ luôn đúng với mọi x và $f^{'} (- 1) = 6$ . Tìm a

a = - 1.

a = 2.

a = 1.

a = 3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tính giới hạn sau: $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}}{1 - \cos x}$

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ . Tìm $\lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - x f (2)}{x - 2}$ .

Cho hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 x + 2019$ . Số nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ trên đoạn $[0; 2020 π]$ là

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 m x^{2} - 12 x + 3$ với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để $f^{'} (x) \leq 0$ với $\forall x \in ℝ$ là

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}$ . Tất cả các nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ . Đạo hàm của hàm số $f (x)$ nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào dưới đây?

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + x - 7}{x^{2} + 3}$ . Tập nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

Cho $f (x) = 2 x^{3} + 3 (a + 2) x^{2} + 6 a^{2} x$ . Biết $f^{'} (x) > 0$ luôn đúng với mọi x và $f^{'} (- 1) = 6$ . Tìm a