Tìm tất cả giá trị của tham số m để các bất phương trình 3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1≤m+1 đúng với mọi x∈ℝ .

Câu hỏi:

24/09/2022 236

Tìm tất cả giá trị của tham số m để các bất phương trình $\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1} \leq m + 1$ đúng với mọi $x \in ℝ$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 45 phút có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1} \leq m + 1 \Leftrightarrow \frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3} \leq m + 1$

Do $\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 1 > 0 \forall x \Rightarrow$ hàm số có tập xác định $D = ℝ$

Đặt $y = \frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3} \Leftrightarrow (3 - y) \sin 2 x + (1 - 2 y) \cos 2 x = 3 y$ (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ${(3 - y)}^{2} + {(1 - 2 y)}^{2} \geq 9 y^{2}$

$\Leftrightarrow 2 y^{2} + 5 y - 5 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 5 - \sqrt{65}}{4} \leq y \leq \frac{- 5 + \sqrt{65}}{4}$

Suy ra $\max y = \frac{- 5 + \sqrt{65}}{4}$

Để bất phương trình $\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1} \leq m + 1$ đúng với mọi $x \in ℝ$ thì $\frac{- 5 + \sqrt{65}}{4} \leq m + 1 \Leftrightarrow m \geq \frac{\sqrt{65} - 9}{4}$

Vậy

m \geq \frac{\sqrt{65} - 9}{4}

là các giá trị cần tìm

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải phương trình $2 \sin x + \cot x = 2 \sin 2 x + 1$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện $\sin x \neq 0$ .

Ta có $2 \sin x + \cot x = 2 \sin 2 x + 1 \Rightarrow 2 \sin^{2} x + \cos x = 4 \sin^{2} x \cos x + \sin x$

$\Leftrightarrow \sin x (2 \sin x - 1) = \cos x (4 \sin^{2} x - 1)$

$\Leftrightarrow (2 \sin x - 1) [\cos x (2 \sin x + 1) - \sin x] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2} \\ 2 \sin x \cos x + \cos x - \sin x = 0 \end{array}$

Trường hợp 1: $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ (thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2: $2 \sin x \cos x - (\sin x - \cos x) = 0$ (1)

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

Phương trình (1) trở thành $(1 - t^{2}) - t = 0 \Leftrightarrow t^{2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ t = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow \sin x - \cos x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + \arcsin (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}) + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{4} - \arcsin (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$