Cho tam giác ABC có đường trung trực của cạnh AC đi qua đỉnh B, chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Vì M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB.

Do đó tam giác MAB cân tại M.

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{B}$ (tính chất tam giác cân).

Vì N thuộc đường trung trực của AC nên NA = NC.

Do đó tam giác NAC cân tại N.

Suy ra $\widehat{NAC}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân).

Xét DABC có: $\stackrel{︿}{\text{A}}+\stackrel{︿}{\text{B}}+\stackrel{︿}{\text{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}=180°-\widehat{A}$

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=180°-120°=60°$.

Ta có: $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}-\widehat{MAB}-\widehat{NAC}$

                        $=\widehat{BAC}-\left(\widehat{MAB}+\widehat{NAC}\right)$ 

                     $=120°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=120°-60°=60°$.

Vậy $\widehat{MAN}=60°.$

b) Ta có OB = OC nên tam giác OBC cân tại O.

Suy ra $\widehat{OBE}=\widehat{OCF}$         (1)

Ta có DOEA = DOEB (câu a)

Suy ra $\widehat{OA\text{E}}=\widehat{OBE}$ (hai góc tương ứng) (2)

Tương tự từ DOFA = DOFC (câu a)

Suy ra $\widehat{OAF}=\widehat{OCF}$ (hai góc tương ứng) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{OAE}=\widehat{OAF}$ 

Suy ra AO là tia phân giác của góc EAF.

Vậy AO là tia phân giác của góc EAF.