Câu hỏi:

30/10/2022 6,793

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'. Góc giữa hai đường thẳng MN và AP là

A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 90°.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 115 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Vecto trong không gian - Hai đường thẳng vuông góc có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn đáp án A.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'. Góc giữa (ảnh 1)

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.

Do $M N / / A C$ nên $\hat{(M N, A P)} = \hat{(A C, A P)} .$

Ta cần tính góc $\hat{P A C} .$

Vì $∆$ A'D'P vuông tại D' nên $A^{'} P = \sqrt{A^{'} {D^{'}}^{2} + D^{'} P^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

$∆$ AA'P vuông tại A' nên $A P = \sqrt{A^{'} A^{2} + A^{'} P^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}} = \frac{3 a}{2} .$

$∆$ CC'P vuông tại C' nên $C P = \sqrt{C {C^{'}}^{2} + C^{'} P^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

Ta có AC là đường chéo của hỉnh vuông ABCD nên $A C = a \sqrt{2} .$

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ACP ta có:

$C P^{2} = A C^{2} + A P^{2} - 2 A C . A P . \cos \hat{C A P} \Rightarrow \cos \hat{C A P} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \hat{C A P} = 45^{o} < 90^{o} .$

Suy ra $\hat{(A C, A P)} = \hat{C A P} = 45^{o}$ hay $\hat{(M N, A P)} = 45^{o} .$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện ABCD có $A B = C D = 2 a .$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết $M N = a \sqrt{3},$ góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. 45°.

B. 90°.

C. 60°.

D. 30°.

Lời giải

Chọn đáp án C

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết MN = a căn bậc 2(3) (ảnh 1)

Gọi P là trung điểm AC, ta có $P M / / C D$ và $P N / / A B$ suy ra $\hat{(A B, C D)} = \hat{(P M, P N)} .$

Dễ thấy $P M = P N = a .$ Xét $∆$ PMN ta có:

$\begin{array}{l} \cos \hat{M P N} = \frac{P M^{2} + P N^{2} - M N^{2}}{2 P M . P N} = \frac{a^{2} + a^{2} - 3 a^{2}}{2. a . a} = - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \hat{M P N} = 120^{o} . \end{array}$

Suy ra $\hat{(A B, C D)} = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o} .$

Câu 2

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết $A B = C D = a, M N = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết AB = CD = a, MN = a căn bậc 2(3)/2 (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AC.

Ta có $\{\begin{cases} I M / / A B \\ I N / / C D \end{cases} \Rightarrow \hat{(A B, C D)} = \hat{(I M, I N)} .$

Đặt $\hat{M I N} = α .$

Xét tam giác IMN có $I M = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}, I N = \frac{C D}{2} = \frac{a}{2}, M N = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Theo định lí côsin, ta có:

$\cos α = \frac{I M^{2} + I N^{2} - M N^{2}}{2 I M . I N} = \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2. \frac{a}{2} . \frac{a}{2}} = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow \hat{M I N} = 120^{o} .$

Vậy $\hat{(A B, C D)} = 60^{o} .$

Câu 3

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng

A. 45°.

B. 90°.

C. 30°.

D. 60°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C' bằng

A. 30°.

B. 90°.

C. 60°.

D. 45°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D), S A = a, A B = a, B C = a \sqrt{3} .$ Côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD bằng

A. $\sqrt{\frac{3}{10}} .$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5} .$

C. $\frac{\sqrt{3}}{5} .$

D. $\frac{\sqrt{3}}{10} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tứ diện OABC có $O A = O B = O C = a; O A, O B, O C$ vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng

A. 45°.

B. 30° .

C. 90°.

D. 60°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng AD và BB₁ bằng

A. 30°.

B. 60°.

C. 45°.

D. 90°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý